Octave の基本機能と文法

Octave のデータ型

Octave のデータ型は行列だけである． このページでは，適宜，行ベクトル，列ベクトル，スカラーという言葉を次の意味で扱う．

• 行ベクトル： 1行m列の行列 (m>=1)
• 列ベクトル： n行1列の行列 (n>=1)
• スカラー： 1行1列の行列

Octave では，変数の大文字と小文字を区別するので注意． このページでは，行ベクトルと列ベクトルとスカラーが入る変数は小文字，一般の行列は大文字にしている．

行ベクトル

行ベクトルのコンストラクタ

t = [2 1 3]

• 行ベクトルのコンストラクタ

  x = [1 2 3 4 5 6]
  

• 全要素が 0 の行ベクトル: zeros

  「zeros(1, m)」のように書く．m は列数．

  x = zeros(1, 10)
  

• 全要素が 1 の行ベクトル: ones

  「ones(1, m)」のように書く．m は列数．

  x = ones(1, 10)
  

• 全要素が 同じ値 の行ベクトル: zeros

  「zeros(1, m) + x」のように書く．m は列数．

  x = zeros(1, 10) + 5
  

• 0 から 1 の一様乱数を要素に持つ行ベクトル: rand

  「rand(1, m)」のように書く．m は列数．

  x = rand(1, 10)
  

• 平均 0 分散 1 の正規分布の乱数を要素に持つ行ベクトル: randn

  「randn(1, m)」のように書く．m は列数．

  x = randn(1, 10)
  

• 等差数列（初項，公差，末項を指定）

  初項，公差，末項を「:」で区切る．

  x = [3:2:9]
  

  ※ 「x = 3:2:9」と書いても同じ意味．

  あるいは，初項，末項を「:」で区切る．このときは，公差=1．

  x = [2:4]
  

  ※ 「x = 2:4」と書いても同じ意味．

• 等差数列（初項，末項，項数を指定）: linspace

  初項，末項，項数を指定．グラフを作るときなどに便利

  x = linspace(1,500,20)
  

• 対数グラフ用の数列: logspace

  対数グラフにしたときに等間隔になるような数列を生成．

  x = logspace(1,500,20)
  

• 空行列／空ベクトル []

要素の操作

• 参照（行ベクトル→スカラー）

  要素番号を使っての参照．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(1)
  

• 参照（行ベクトル→行ベクトル）

  要素番号が入った行ベクトル（あるいは列ベクトル）を使っての参照

  x = [10 20 30 40 50 60]
  x([2 4 6])
  x(1:3)
  x(1:2:5)
  

• 要素の代入

  要素番号を使っての代入

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(2) = 20
  

  要素番号が入った行ベクトル（あるいは列ベクトル）を使っての代入

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x([3 4 5]) = [20 30 40]
  

• 行ベクトルの連結 「[]の中にベクトルを並べる．

  x = [1 2 3]
  y = [4 5 6]
  [x y]
  

• 要素の削除

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(2) = []
  y = [1 2 3 4 5 6]
  y([3 4 5]) = []
  

行ベクトルの演算

• 行ベクトルの要素のデータ型： class

  x = [1 2 3 4 5 6]
  class(x) 
  

• サイズ： size

  x = [1 2 3 4 5 6]
  size(x) 
  

• 転置　（行ベクトル → 列ベクトル）

  「.'」を使った転置

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x.'
  

• 転置　（行ベクトル → 列ベクトル）

  「'」を使った転置は，複素共役転置

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x'
  

• 行ベクトルに同じ数を足す： + （行ベクトル → 行ベクトル） ※和、差，積，商，剰余などの 要素単位の演算は，この Web ページの下の方に，別立てで書いています．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x + 10
  

• 行ベクトルの定数倍： * （行ベクトル → 行ベクトル）

  ※ 要素単位の演算は，この Web ページの下の方に，別立てで書いています．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x * 3
  

• 定数を行ベクトルの各要素で割る： * （行ベクトル → 行ベクトル）

  x = [1 2 3 4 5 6]
  3 ./ x 
  

• 行ベクトルと、ある価との比較： == （行ベクトル → 行ベクトル）

  a = [1 2 3 2 2 5]
  a == 1
  

  

• ソート： sort （行ベクトル → 行ベクトル）

  sort は，デフォルトでは，昇順 (increasing order) でのソート． ソート順を明示的に指定したいときは， 「sort(a,ascent)」, 「sort(a,descend)」 のように書く．

• 内積： * （行ベクトル 列ベクトル → スカラー）

  x = [1 2 3]
  y = [4 5 6]
  x*y'
  

列ベクトル

t = [2; 1; 3]

行列

行列のコンストラクタ

1 3
2 4

M = [1 3; 2 4]

• 行列のコンストラクタ

  行を「;」で区切る

  A = [1 2 3; 4 5 6]
  

• 全要素が 0 の行列: zeros

  「zeros(n,m)」のように書く．n は行数，m は列数．

  A = zeros(3,4)
  

• 全要素が 1 の行列: ones

  「ones(n,m)」のように書く．n は行数，m は列数．

  A = ones(3,4)
  

• 全要素が同じ値の行列: zeros と + を利用

  「zeros(n,m) + x」のように書く．n は行数，m は列数．

  A = zeros(3,4) + 5
  

• 単位行列: eye

  「eye(n)」のように書く．n は行数(であり列数でもある)．単位行列は正方行列（行数と列数が等しい行列）

  A = eye(3)
  

• 対角行列

  diag を使う．引数に指定したベクトルを対角要素に持つ行列が作られる．

  A = diag([1 2 3 4])
  

• 0 から 1 の一様乱数を要素に持つ行列: rand

  「rand(N, M)」のように書く．N は行数，M は列数．

  x = rand(3, 4)
  

• 平均 0 分散 1 の正規分布の乱数を要素に持つ行列: randn

  「randn(N, M)」のように書く．N は行数，M は列数．

  x = randn(3, 4)
  

• ベクトルを行列に変換

  「reshape(v, n, m)」のように書く．n は行数，m は列数．

  

• メッシュグリッド meshgrod

  例えば，x 座標値が並んだベクトル [0 1 2 3] と y 座標値が並んだベクトル [1 2 3] からメッシュグリッドを生成するのは次の通り．

  [XX, YY] = meshgrid([0 1 2 3], [1 2 3])
  

  

  （例）meshgrid の使用例. mesh 関数を用いた表示

  x = [0 1 2 3];
  y = [1 2 3];
  [XX, YY] = meshgrid(x, y);
  ZZ = XX.*YY;
  mesh(XX, YY, ZZ);
  close;
  

  

  

  （例）meshgrid の使用例. contour 関数を用いた表示

  x = [0 1 2 3];
  y = [1 2 3];
  [XX, YY] = meshgrid(x, y);
  ZZ = XX.*YY;
  contour(XX, YY, ZZ);
  close;
  

  

  

• 空行列／空ベクトル []

行列の要素の操作

• 参照（行列→行列や行ベクトルや列ベクトルやスカラー）
  • 参照では，行番号と列番号をカンマで区切る．

    A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
    A(1,1)
    A(3,2)
    

    
  • 範囲を指定したいときは「:」を使う。 例えば、下の例での「2:4」は，行ベクトル[2 3 4]のコンストラクタになっている. 「:」だけを書くと，全ての行あるいは全ての列という意味になる

    A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
    A(1:2, 2:4)
    A(1:2, 2)
    A(1:2, :)
    

    
  • 行番号や列番号はベクトルを指定しても良い．

    A(1:2,[2 4])
    

• 条件に合致する行の選択

  X = [1 102; 1 102; 2 101; 3 101; 3 103]
  X(:,1) == 3 
  X( X(:,1) == 3, : )
  

  

• 要素の代入

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A(2,3) = 60
  A
  

• 行の追加

  同じ列数の列ベクトルや，行列の連結．下の例では A の後に「;」が来ることに注意．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  B = [A; [13 14 15 16]]
  C = [A; [13 14 15 16; 17 18 19 20]]
  

• 列の追加

  同じ行数の行ベクトルや，行列の連結． 下の例で分かるように，半角の空白文字で区切って，連結したい行列や行ベクトルを並べる．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  B = [A [100; 101; 102]]
  C = [A [100 200; 101 201; 102 202]]
  

• 行列の連結

  行方向に連結するときは「;」を使う

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  D = [13 14 15 16; 17 18 19 20]
  [A; D]
  

  

  列方向に連結するときは、半角の空白文字を使う

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  E = [20 21; 22 23; 24 25]
  [A E]
  

  

• 行の削除

  [] を使う

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A([1 3],:) = []
  A
  

• 列の削除

  [] を使う

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A(:,[1 3]) = []
  A
  

行列の演算

• 行列の要素のデータ型： class
  

• 次元の取得： ndims

  ベクトルのときは 1. 行列のときは 2 （のはず）．

• サイズ： size p

  縦横のサイズはそれぞれ：

  size(mat, 1)
  size(mat, 2)
  

• 転置　（行列 → 行列）

  「.'」を使った転置

• 転置　（行列 → 行列）

  「'」を使った転置は，複素共役転置

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x'
  

• 行列に同じ数を足す： + （行列 → 行列）

  ※ 要素単位の演算は，この Web ページの下の方に，別立てで書いています．

  
  行列に同じ数を足す

• 行列の定数倍： * （行列 → 行列）

  ※ 要素単位の演算は，この Web ページの下の方に，別立てで書いています．

• 行列と、ある価との比較： == （行列 →行列）

  X = [1 2 3; 2 3 2; 2 2 3]
  X == 2
  

  
• 行列とベクトルの積，あるいは行列と行列の積: *
  
  行列とベクトルの積
  
  行列と行列の積

• 除算（左除算; left division）： \

  A\y は，行列 A とベクトル y から，Ax = y の解 x を求める． A\Y は，行列 A と Y から，A*X = Y の解 X を求める．

• 除算（右除算; right division）： /

  右除算は,左除算を使って定義されている． A/Y = (Y'\A')' である． つまり，A/Y は，行列 A と Y から，X*A = Y の解 X を求める．

• 逆行列： inv
  
  逆行列の例

• 固有値と固有ベクトル： eig

  行列の固有値 (eigenvalue) と固有ベクトル (eigenvectors) を求める． 最初にヘッセンベルグ分解 (Hassenberg decomposition) の関数 hess が使われ，次にシューア分解 (Schur decomposition) の関数 schur が使われる．

  • 固有値だけが必要な場合: LAMBDA = eig(A)
    
    固有値の例
  • 固有値と固有ベクトルが必要な場合: [V, LAMBDA] = eig(A)

    固有ベクトルは，行列Vの列ベクトル．固有値は，行列LAMBDAの対角要素． A * X = X * LABMDA が成り立つ．

    
    固有値と固有ベクトルの例

• 正方行列 (square matrix) の行列式： det
  
  行列式の例

• 行列のトレース (trace)： trace

  sum(diag(X)) を求める

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  trace(X) 
  

  
  

• Singular Value Decomposition (SVD): svd

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  [U, S, V] = svd(X) 
  

  

• 正方行列 (square matrix) の LU 分解： lu

  LAPACK の機能を使い，LU 分解を行う．例えば次のように書く．

  x=rand(2000,2000); [L,U,P]=lu(x);
  
  LU 分解の例

• 正則行列のランク： rank

  0 でない特異値の数

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  rank(X)
  

  

• QR factorization: qr

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  [Q, R, P] = qr(X)
  

  

• 分散共分散行列: cov

  X = [11 12 13; 14 15 16; 19 18 17]
  cov(X) 
  

  

• ２次元のコンボリューション: conv2

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  B = [1 2; 3 4]
  Z = conv2(X, B, 'full')
  

  

スカラーに対する演算

Octave では，スカラーに対する演算は，行列やベクトル（行ベクトルと列ベクトル）にも使えることに注意． このとき，行列やベクトルの要素単位での演算が行われる． 2項演算は，同じサイズの行列やベクトル同士に使える．

四則演算

• 和： +

• 差： -

• 積： .* 行列やベクトルの積ではなく，要素それぞれの積の場合は.* を使う．

• 商： ./ 行列やベクトルの要素それぞれの商の場合は./ を使う．
  t = [0.01:0.01:40.96] plot( sin(t) ./ t );
  

• 剰余： mod

数学関数

• べき： ^
• 平方根： sqrt
• 絶対値： abs
• angle
• 複素数の実部 (real part): real
• 複素数の虚部 (imaginary part): imag
• conj
• 符号： sign
• round
• 小数点以下切り捨て: fix
• floor
• ceil
• eのべき： exp
• 自然対数： log
• 2を底とする対数： log2
• 10を底とする対数： log10
• サイン： sin
• コサイン： cos
• タンジェント： tan
• 逆サイン： asin
• 逆コサイン： acos
• 逆タンジェント： atan
• 逆タンジェント： atan2

  atans(Y, X) は，(Y / X) に対して，逆タンジェントを求める．

• ベッセル関数： bessel
• ガンマ関数： gamma

論理演算

論理演算では，値が 0 ならば偽 (FALSE), 値が 0 以外ならば真 (TRUE) とみなされる． 比較の結果，真なら 1，偽なら 0．

• AND： &
• OR： |
• NOT：~

比較演算

行列やベクトルの場合には，要素ごとに比較を行う． 比較の結果，真なら 1，偽なら 0．

• より小さい： <
• 以下： <=
• より大きい： >
• 以上： >=
• 等しい： = =
• 等しくない： ~=

x = [1 2 3 4 5 6]
max(x)
min(x)
mean(x)
sum(x)
length(x)