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濃淡画像のフーリエ変換と低域/高域通過フィルタ

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前準備

Octave のインストールが済んでいること. Octave の窓関数については http://octave.sourceforge.net/doc/funref_signal.html


説明

この Web ページでは「画素値」,「濃淡画像」という言葉を次の意味で使います.

この Web ページでは,次の Octave の関数を使います

この Web ページのプログラムでは,変数を次の意味で使います.


カラー画像ファイルの読み込み,濃淡画像の表示とのファイル書き出し

カラー画像ファイルは imread 関数で読み込む.rgb2gray 関数を使い濃淡値に変換する.この時点では 0 から 255 の値をとる.256 で割り A に格納する. ここでは,ファイル名 t:/lena_std.jpg を指定してファイルを読み込みます.

※ ここでは JPEG ファイルを使っていますが,たいていの種類の画像ファイルを扱うことができます.

pkg load image;

# カラー画像ファイルの読み込みと濃淡画像への変換
[rgb, immap, alpha] = imread("/tmp/lena_std.jpg");
A = double(rgb2gray(rgb))/255;

# 濃淡画像の表示
colormap(gray(256));
imshow(A);

# 濃淡画像のファイル書き出し
imwrite(A, "A.png");

実行結果の例


濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差の取得

function [ma, mi, me, st] = grayimage_stat (image)
  # 濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差の取得
  d = reshape( double(image), 1, size(image)(1)*size(image)(2) );
  ma = max(d);
  mi = min(d);
  me = mean(d);
  st = std(d);
endfunction

function disp_grayimage_stat (image, s)
  # 濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差を表示
  # 「濃淡画像」は 0 = 黒,1 = 白である場合,そのまま表示すると分かりづらい.
  # それぞれの値を s 倍する
  [maxImage, minImage, meanImage, stdImage] = grayimage_stat(image);
  disp "max"
  maxImage * s
  disp "min"
  minImage * s
  disp "mean"
  meanImage * s
  disp "std"
  stdImage * s
endfunction

# 濃淡画像 A がセット済みであること
disp_grayimage_stat(A, 255);

実行結果の例


フーリエ変換

function logM = log_mat(M)
  # まず,対数を使ったマッピング.
  # 例えば M が 0.001 から 100 の範囲にあるとき,
  # M の値を log(0.001) - log(0.001) / log(100) - log(0.001) から
  # log(100) - log(0.001) / log(100) - log(0.001) にマッピングする.
  # つまり 0 から 1 の範囲になるようにマッピングする.
  MI = min(min(M));
  MA = max(max(M));
  if ( MI < 0.000000001 )
    # too small
    MI = 0.000000001;
  end
  #
  logM = ( log(M) - log(MI) ) / (log(MA) - log(MI));
endfunction


# 濃淡画像 A がセット済みであること
AA = fftshift( fft2( A ) );
imshow(log_mat(abs(real(AA))));
imshow(log_mat(abs(imag(AA))));
imwrite( log_mat(abs(real(AA))), "AAreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(AA))), "AAimag.png");

実行結果の例

実部の画像

虚部の画像


低域/高域通過フィルタのための窓関数

ここでは窓関数を 2次元の行列に格納し,FFT 結果を組み合わせることができるようにします.

function f = get_blackman(N, totallen)
  # blackman 関数を用いて Blackman 窓関数のフィルタ係数を得る

  # 最初に長さ totallen のベクトルを作る(大きめに作るということ)
  f = zeros(1,totallen);
  # 先頭 ceil(N/2) 個だけ値を埋める
  a = blackman(N * 2);
  f([1:N]) = a([N:-1:1]);
endfunction

function F2D = imagefilter(f, xsize, ysize)
  # f はフィルタを表現したベクトル.
  # f(1) は直流成分.f(2), f(3),... と続くにつれ、周波数が上がる
  # これを 2 次元に広げる
  # xsize = 512, ysize = 512 のとき F2D(257,257) に直流成分がくる
  # ずれているように見えるだろうが、これが fftshift の流儀
  [X,Y] = meshgrid( 1:xsize, 1:ysize );
  XX = abs(X - (xsize/2) - 1);
  YY = abs(Y - (ysize/2) - 1);
  F2D = f( max(XX,YY) + 1 );
end

fu = get_blackman(5,20)
plot(fu);

F2D = imagefilter( get_blackman(5,20), 16, 16 );
surfl(F2D);


画像の低域/高域通過フィルタ

function Image = apply_grayimage_filter(CC, f)
  # 画像フィルタを得る.
  # f はフィルタ係数を格納したベクトル.
  # f(1) は直流成分.f(2), f(3),... と続くにつれ、周波数が上がる
  # CC は濃淡画像に2次元の FFT を行った結果(複素数の行列)
  # ifft2 は 2 次元の逆 FFT
  Image = real( ifft2( fftshift( CC .* imagefilter( f, size(CC)(1), size(CC)(2) ) ) ) );
endfunction

# AA には,濃淡画像に2次元の FFT を行った結果(複素数の行列)が格納済みであること
# 低域通過フィルタ
U = apply_grayimage_filter(AA, get_blackman(50,2000));
# 高域通過フィルタ
V = apply_grayimage_filter(AA, (1 - get_blackman(50,2000)));
# 濃淡画像の表示とファイル書き出し
# U, V の値の範囲が 0,1 をはみ出すかもしれないので調整
disp_grayimage_stat (U, 255)
disp_grayimage_stat (V, 255)
imshow(min(max(0,U),1));
imwrite(min(max(0,U),1), "U.png");
# キーが押されるのを待つ
disp "please press key"
pause;
imshow(min(max(0,V),1));
imwrite(min(max(0,V),1), "V.png");
# キーが押されるのを待つ
disp "please press key"
pause;
# 再度,2 次元の逆 FFT を実行(バグがないか,2 次元の逆 FFT の結果をみて確認したい)
UU = fftshift( fft2( U ) );
VV = fftshift( fft2( V ) );
imwrite( log_mat(abs(real(UU))), "UUreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(UU))), "UUimag.png");
imwrite( log_mat(abs(real(VV))), "VVreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(VV))), "VVimag.png");

低域通過画像

低域通過画像の 2次元 FFT 結果の実部

低域通過画像の 2次元 FFT 結果の虚部

高域通過画像

高域通過画像の 2次元 FFT 結果の実部

高域通過画像の 2次元 FFT 結果の虚部

disp "sum(sum(abs( AA )))"
sum(sum(abs( AA )))
disp "sum(sum(abs( UU )))"
sum(sum(abs( UU )))
disp "sum(sum(abs( VV )))"
sum(sum(abs( VV )))

surfl( log(abs( AA )) );
surfl( log(abs( UU )) );
surfl( log(abs( VV )) );


ヒストグラム平坦化の例

# histogram euqalization
Ahisteq = histeq( A );
Uhisteq = histeq( U );
Vhisteq = histeq( V );

imwrite(Ahisteq, "Ahisteq.png", 256)
imwrite(Uhisteq, "Uhisteq.png", 256)
imwrite(Vhisteq, "Vhisteq.png", 256)

disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Ahisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Ahisteq) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uhisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uhisteq) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vhisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vhisteq) ) ))))

元画像にヒストグラム平坦化を行った結果

低域通過画像にヒストグラム平坦化を行った結果

高域通過画像にヒストグラム平坦化を行った結果


平均と標準偏差の正規化

[maxA, minA, meanA, stdA] = grayimage_stat(A);
[maxU, minU, meanU, stdU] = grayimage_stat(U);
[maxV, minV, meanV, stdV] = grayimage_stat(V);

Auni = max(0, A / stdA * 0.2 + 0.5 - (meanA / stdA) * 0.2);
Uuni = max(0, U / stdU * 0.2 + 0.5 - (meanU / stdU) * 0.2);
Vuni = max(0, V / stdV * 0.2 + 0.5 - (meanV / stdV) * 0.2);

imwrite(Auni, "Auni.png", 256)
imwrite(Uuni, "Uuni.png", 256)
imwrite(Vuni, "Vuni.png", 256)

disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Auni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Auni) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uuni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uuni) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vuni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vuni) ) ))))

元画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果

低域通過画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果

高域通過画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果


# band pass

w1 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w1(n,m) = w1(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 250 )
    w1(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w2 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w2(n,m) = w2(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 210 )
    w2(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w3 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w3(n,m) = w3(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 170 )
    w3(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w4 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w4(n,m) = w4(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 130 )
    w4(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w5 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w5(n,m) = w5(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 90 )
    w5(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

ww1 = histeq( real(ifft2( fftshift(w1) )), 256);
ww2 = histeq( real(ifft2( fftshift(w2) )), 256);
ww3 = histeq( real(ifft2( fftshift(w3) )), 256);
ww4 = histeq( real(ifft2( fftshift(w4) )), 256);
ww5 = histeq( real(ifft2( fftshift(w5) )), 256);

imwrite(ww1, "ww1.png")
imwrite(ww2, "ww2.png")
imwrite(ww3, "ww3.png")
imwrite(ww4, "ww4.png")
imwrite(ww5, "ww5.png")

# FFT again
ww1fft = fftshift( fft2( double(ww1) ) );
ww2fft = fftshift( fft2( double(ww2) ) );
ww3fft = fftshift( fft2( double(ww3) ) );
ww4fft = fftshift( fft2( double(ww4) ) );
ww5fft = fftshift( fft2( double(ww5) ) );

disp "sum(sum(abs(ww1fft)))"
sum(sum(abs(ww1fft)))
disp "sum(sum(abs(ww2fft)))"
sum(sum(abs(ww2fft)))
disp "sum(sum(abs(ww3fft)))"
sum(sum(abs(ww3fft)))
disp "sum(sum(abs(ww4fft)))"
sum(sum(abs(ww4fft)))
disp "sum(sum(abs(ww5fft)))"
sum(sum(abs(ww5fft)))

位相画像

フーリエ変換の後、振幅を1に正規化。その後、逆フーリエ変換

プログラム例

pkg load image;

[rgb, immap, alpha] = imread("fruits.jpg");
mono = rgb2gray( rgb );

colormap(gray(256));
imshow(mono);

mono2 = real( ifft2( fft2(mono) ./ abs( fft2(mono) ) ) );
imshow( 255.0 * mono2 / max(max(mono2)) ); 

mono3 = imsmooth(mono, "Gaussian", sigma=6);
imshow(mono3); 

mono4 = real( ifft2( fft2(mono3) ./ abs( fft2(mono3) ) ) );
imshow( 255.0 * mono4 / max(max(mono4)) );