ニュートン法による
非線型方程式の解
ニュートン法
•方程式f(x)=0の解を求める
•処理手順
1. 初期値 x の決定
–x = x0を決める
2. 接線と x 軸の交点の計算
–x = x0における y = f(x) の接線を引き、今度はこ
の接線と y=0 (x軸)の交点を x1 とする
– すなわち、 xn+1 = xn - (f(x)/f ’(x)) を計算する
3. 2. を繰り返して値が収束したらそれを解とする
ニュートン法
初期値x=aをとる
グラフに接線１を引く
接線１が横軸をきる点x=b
aよりも真の値に近くなる
bのところで次の接線２を引く
Bよりも真の値に近い点 x=cが得られる
同じことを繰り返す
真の値x0に極めて近い値 を得る
abc
x0
ニュートン法の弱点
関数ｆ(x)が単調でなくて変曲点を持つ，
つまりｆ’(x)の符号が変わるときには収束しない場合がある
三次以上になるとあまり有効な方法でなくなる．
初期値の選び方次第では収束しない
無限ループが起こる
Newton 法は, 出発点とする十分近い解を見付けることができれば,
非常に収束が早い.
対策
繰り返しの上限回数を設定する
ニュートン法の弱点
重根の場合、誤差がなかなかゼロに収束しない
対策
収束までに非常に時間がかかる
収束条件を設定する
ニュートン法での収束条件
• ニュートン法では現在の xnがどれだけ真の値に
近いかは，一般には分からない
• 収束条件として、ある小さな正の数εに対して
xn+1-xn
xn+1
となった時点で計算を終了し xn+1 を解とする
=ε
ニュートン法のプログラム
•入力
– 初期値 x0
– 計算精度 ε
–方程式 f(x)
–f(x)の導関数 f ’(x)
– 繰り返し回数の上限 number
• 出力
– 解(計算過程)
ニュートン法の注意点
• 初期値をいくつにするか?
– 初期値の設定の際、あまりに解と掛け離れた値を与
えると、収束するのに時間がかかったり、収束しな
かったりする
• 収束条件をどうするか?
– どの程度の精度で計算するかを決定していないと，繰
り返しをいつ終えるか決まらない
• 収束しない場合はどうするか?
• 虚数解は求まらない
例題 ニュートン法のプログラム
•初期値，計算精度、繰り返し上限回数を読
み込んで，f(x)=x2–2 をニュートン法で解く
プログラムを作成する
–f(x) = x2- 2
– g(x) = f ’(x) = 2x
–x : 現在のx
–new_x : 次のx
–g(x) が10 以下なら重解とする
-4
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void function(void);
double f(double x);
double g(double x);
/* f(x)の出力 */
void function()
{printf("f(x) = pow(x,2) - 2\n");
}
/* f(x) */
double f(double x)
{return pow(x,2) - 2;
}
/* f(x)の導関数 */
double g(double x)
{return 2 * x;
}
int main(void)
{
double x;
double new_x;
double eps;
int number, i;
char buf[100];
function(); /* f(x)を表示 */
printf("初期値 : ");
fgets(buf, 100, stdin);
sscanf(buf,"%lf", &x);
printf("計算精度 : ");
fgets(buf, 100, stdin);
sscanf(buf,"%lf", &eps);
printf("繰り返し上限回数 : ");
fgets(buf,100,stdin);
sscanf(buf,"%d", &number);
printf("繰り返し回数\tnew_x\t\tf(x)\t\tg(x)\n");
for(i = 0 ; i < number ; i++) {
new_x = x - f(x) / g(x);
if(fabs(new_x - x) < eps * fabs(new_x)) {
printf("x = %lf\n",new_x);
break;
}
printf("%2d\t\t%lf\t%lf\t%lf\n",i,new_x,f(x),g(x));
if(fabs(g(x)) < 1.0e-4){
printf("x = %lf(重解)\n",new_x);
break;
}
x = new_x;
}
if(i == number)
printf("繰り返し上限\n");
}
実行結果の例
f(x) = pow(x,2) - 2
初期値 : 10
計算精度 : 0.000001
繰り返し上限回数 : 10
繰り返し回数 new_x f(x) g(x)
0 5.100000 98.000000 20.000000
1 2.746078 24.010000 10.200000
2 1.737195 5.540947 5.492157
3 1.444238 1.017846 3.474390
4 1.414526 0.085824 2.888476
5 1.414214 0.000883 2.829051
x = 1.414214
f(x) = pow(x,2) - 2
初期値 : 100
計算精度 : 0.000001
繰り返し上限回数 : 10
繰り返し回数 new_x f(x) g(x)
0 50.010000 9998.000000 200.000000
1 25.024996 2499.000100 100.020000
2 12.552458 624.250425 50.049992
3 6.355895 155.564203 25.104916
4 3.335282 38.397397 12.711789
5 1.967466 9.124103 6.670563
6 1.492001 1.870921 3.934931
7 1.416241 0.226067 2.984002
8 1.414215 0.005740 2.832483
9 1.414214 0.000004 2.828430
繰り返し上限
