内容
• 例題１．自然数の和
• 例題２．最大公約数の計算
• 例題３．ベクトルの長さ
while 文
• 例題４．九九の表
for 文と繰り返しの入れ子
• 例題５．ド・モアブルの公式
計算誤差の累積
2
目標
• 繰り返し（while 文, for 文）を使って，繰り返し
計算を行えるようになること
• ループカウンタとして，整数の変数を使うこと
• 見やすいプログラムを書くために，字下げを行う
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繰り返しとは
• 繰り返しとは，ある条件が満たされるまで，同じ
ことを繰り返すこと．
• 繰り返しを行うための文としてwhile文, for 文な
どがある．
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繰り返しの例
• ユークリッドの互助法
• m と n の最大公約数を求めるために，「割った余りを
求めること」を，余りが０になるまで繰り返す．
• 九九の表
• 九九の表を求めるために，掛け算を８１回繰り返す
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オンライン開発環境 Online GDB
• プログラミングを行えるオンラインのサービス
https://www.onlinegdb.com
• ウェブブラウザを使う
• たくさんの言語を扱うことができる
Python3, Java, C/C++, C#, JavaScript,
R, アセンブリ言語，SQL など
• オンラインなので、「秘密にしたいプログラム」
を扱うには十分な注意が必要
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Online GDB で Java を動かす手順
① ウェブブラウザを起動する
② 次の URL を開く
https://www.onlinegdb.com
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③ 「Language」のところで，「Java」を選ぶ
8
エディタ画面
実行ボタン
プログラムを
書き換えること
ができる
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例題１．自然数の和
• 整数データ（Ｎとする）を読み込んで，１からＮ
までの和を求めるプログラムを作る
• ここでは，練習のため，自然数の和の公式は使わ
ずに，while文を用いる
例） 100 → 5050
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import java.util.Scanner;
public class Main
{
public static void main(String[] args) {
int N, sum, i;
Scanner s = new Scanner(System.in);
System.out.println("Please Enter N =");
N = s.nextInt();
sum = 0;
i = 1;
while(i <= N) {
sum = sum + i;
i = i + 1;
}
System.out.printf("goukei = %d¥n", sum);
}
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繰り返し実行される
部分
条件式
自然数の和
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実行結果の例
繰り返し処理の中身
• 繰り返しの前
i = 1 と sum = 0 を実行
• 繰り返しの各ステップでなされること
1. 「sum」 に 「i」 を足しこむ
→「sum」には，その時点での「１から i 」までの和
が入る
2. 「i」 の値を１増やす
• 繰り返しの終了条件
i <= N が成り立たなくなったら終了
→ つまり i > N になったら終了
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自然数の和
14
N = 7 とすると
i <= 7 が成立する
sum = 0 + 1
i <= 7 が成立する
sum = 1 + 2
i <= 7 が成立する
sum = 3 + 3
i <= 7 が成立する
sum = 6 + 4
i <= 7 が成立する
sum = 10 + 5
i <= 7 が成立する
sum = 15 + 6
i <= 7 が成立する
sum = 21 + 7
i <= 7 が成立しない
i = 2
i = 3
i = 4
i = 5
i = 6
i = 7
i = 8
繰り返し
１回目
繰り返し
２回目
繰り返し
３回目
繰り返し
４回目
繰り返し
５回目
繰り返し
６回目
繰り返し
７回目
繰り返し
８回目
sum の値
i の値
はじめは sum = 0 i = 1
while 文
• 何かの処理の繰り返し
• 繰り返しのたびに while 文で書かれた条件式の真
偽が判定され， 真である限り，while のあとに続
く文が実行され続ける．
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例題２．最大公約数の計算
• ２つの整数データを読み込んで，最大公約数を求
めるプログラムを作る．
• ユークリッドの互助法を用いること
• ユークリッドの互助法を行うために while 文を使い，
余りを求めることを繰り返す．
例） 20, 12 のとき： 4
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ユークリッドの互助法
• 最大公約数を求めるための手続き
• m, n の最大公約数は，
• m ≧ n とすると，
• 「m をn で割った余り」 = 0 なら，最大公約数は n
• 「m をn で割った余り」 > 0 なら，m と n の最大公約
数は， 「m をn で割った余り」 と n の最大公約数に等
しい
（ なお，n ＞ 「m をn で割った余り」 が成り立つ）
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import java.util.Scanner;
public class Main
{
public static void main(String[] args) {
int m, n, r;
Scanner s = new Scanner(System.in);
System.out.println("Please Enter m =");
m = s.nextInt();
System.out.println("Please Enter n =");
n = s.nextInt();
r = m % n;
while(r > 0) {
m = n;
n = r;
r = m % n;
}
System.out.printf("GCD = %d¥n", n);
}
}
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条件が成り立つ限り，
実行されつづける部分
条件式
最大公約数の計算
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実行結果の例
繰り返し処理の中身
• 繰り返しの前
r = m % n を実行（m を n で割った余りが r に入る）
• 繰り返しの各ステップでなされること
m = n;
n = r;
r = m % n;
を実行（m, n, r の値は小さくなっていく）
• 繰り返しの終了条件
r が 0 になったら終了
20
最大公約数の計算
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m = 80, n = 35 とすると，
最初の「 r = m % n; 」で， r = 10 になる
r > 0 が成立する
m = 35 n = 10 r = 5
r > 0 が成立する
m = 10 n = 5 r = 0
r > 0 が成立しない
繰り返し
１回目
繰り返し
２回目
繰り返し
３回目
m の値
n の値
r の値
80, 35 の最大公約数は
35, 10 の最大公約数に等しい
35, 10 の最大公約数は
10, 5 の最大公約数に等しい
例題３．総和と平均
• データ x1, x2, ... xk を１つづつ読み込んで，合計
と平均を求めるプログラムを作成す
• 負の数が入力されたら終了する
整数のデータ 1, 2, 3 に対して
1
2
3
-1
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入力
import java.util.Scanner;
public class Main
{
public static void main(String[] args) {
int sum, i, x;
sum = 0;
i = 0;
Scanner s = new Scanner(System.in);
System.out.printf("Please Enter x[%d] =", i);
x = s.nextInt();
while(0 <= x) {
sum = sum + x;
i = i + 1;
System.out.printf("Please Enter x[%d] =", i);
x = s.nextInt();
}
System.out.printf("sum = %d¥n", sum);
System.out.printf("%d / %d = %d", sum, i, sum / i);
}
}
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条件が成り立つ限り，
実行されつづける部分
条件式
総和と平均
24
実行結果の例
繰り返し処理の中身
• 繰り返しの前
sum = 0 と i = 0 を実行
X0 を読み込む
• 繰り返しの各ステップでなされること
1. 「sum」 に 「Xi」 を足しこむ
→「sum」には，その時点での「X0から Xi 」までの和
が入る
2. 「i」 の値を１増やす
3. Xi を読み込む
• 繰り返しの終了条件
Xi < 0 ならば終了
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例題４．九九の表
• 九九の表を表示するプログラムを作成する
• 九九の表を表示するために，繰り返しの入れ子を使う
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public class Main
{
public static void main(String[] args) {
int i, j;
for(i = 1; i <= 9; i++) {
System.out.printf("%3d:", i);
for(j = 1; j <= 9; j++) {
System.out.printf("%3d", i * j);
}
System.out.println("");
}
}
}
27
繰り返し
実行される部分
実行結果画面（例）
28
for 文
29
例題５．ド・モアブルの定理
• θを読み込んで，次の値を計算するプログラムを作
る
• なお，i は虚数単位
• ここでは (sinθ+ i cosθ)n を求めるために，while文を用
いた繰り返し計算を行ってみる
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( )
n
i
sincos +
nin sincos +
複素数の積
z1 = x1 + i y1
z2 = x2 + i y2 のとき
z1 z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2 )
= x1x2 + x1i y2 + i y1x2 + i y1i y2
= x1x2 - y1y2 + i (x1y2 + y1x2 )
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実数部 虚数部
import java.lang.Math;
import java.util.Scanner;
public class Main
{
public static void main(String[] args) {
int n, j;
double x1, y1, x2, y2, theta;
Scanner s = new Scanner(System.in);
System.out.println("Please Enter n =");
n = s.nextInt();
System.out.println("Please Enter theta =");
theta = s.nextFloat();
x1 = Math.cos(theta);
y1 = Math.sin(theta);
x2 = x1;
y2 = y1;
j = 1;
while(j <= n) {
System.out.printf("(cos theta + i sin theta)%d = %8.3f + i%8.3f¥n", j, x1, y1);
System.out.printf("cos %d theta + i sin %d theta = %8.3f + i %8.3f¥n", j, j,
Math.cos(j * theta), Math.sin(j * theta));
x1 = x1 * x2 - y1 * y2;
y1 = x1 * y2 + x2 * y1;
j = j + 1;
}
}
}
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繰り返し実行される
部分
条件式
実行結果
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繰り返し処理の中身
• 繰り返しの前
を実行
• 繰り返しの各ステップでなされること
を実行 （x1 が実数部，y1 が虚数部）
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(cosθ+ i sinθ)
n
= cos nθ+ i sin nθ
(cosθ+ i sinθ)
2
= cos2θ- sin2θ+ 2i cosθsin θ
= cos2θ+ i sin2θ
(cosθ+ i sinθ)
3
= (cosθ+ i sinθ)
2
(cosθ+ i sinθ)
= (cos2θ+i sin2θ) (cosθ+ i sinθ)
= cos2θcosθ- sin2θsinθ
+ i (cos2θsinθ- sin2θcosθ)
= cos (2θ+θ) + i sin (2θ+θ)
= cos3θ+ i sin3θ
(以下同様に考える．数学的帰納法で証明できる）
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計算結果から分かること
• 本来なら「 (cosθ+ i sinθ)
n
= cos nθ+ i sin nθ 」が成
り立つはず
• しかし，コンピュータでの計算は，近似計算
• 計算を繰り返す（つまり、計算結果を使った計算）
たびに，誤差が積み重なる
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演習．m から n までの和
• ２つの整数データ（M, Nとする）を読み込んで，
MからNまでの和を求めるプログラムを作りなさい
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