数値微分と数値積分の原理を理解し、Schemeで実
装する技法の習得
【学習内容の構成】
1. 数値微分（d/dx）：接線の傾きを差分商で近似
する手法
2. 台形則（trapezoid）：小台形の面積の総和で定
積分を近似する手法
3. 高階関数：関数を引数として受け取る関数の定
義と活用
• 前提：Schemeの基本文法、関数定義、再帰
• 意義：解析的に積分できない関数への対処法の獲
得、近似計算における精度と計算コストのトレー
ドオフの理解
2
13-1 数値微分と数値積分
3
1. 接線の傾き d/dx
2. 台形則による数値積分 trapezoid
内容
4
5
接線の傾き
h を 0 に近づけることで、接線の傾き
（＝f '(x) ）の「近似値」が求まる
h
hxfhxf
−−+
2
)()(
x
f(x)
0
hx −
hx +
)( hxf −
)( hxf +
傾きは
接線
区間 [a, b] で，連続関数 f, x軸,
x=a, x=b で囲まれた面積
f(x)
a
b
x
=
b
a
dxxfI )(
定積分：
定積分
6
• n 個の等間隔な小区間に分割
• 幅： h = (b-a) / n
• 小区間： [x
0
, x
1
], [x
1
, x
2
], ..., [x
n-1
, x
n
]
但し，x
0
= a, x
i
= x
0
+ i × h
f(x)
x
0
= a
x
n
= b
x
x
1
x
2
x
n-1
区間 [a, b] の小区間への分割
7
• 小長方形の面積は
f(x)
x
0
= a
x
n
= b
x
x
i
x
i+1
小長方形
f(x
i
)
hxf
i
)(
小長方形
8
• 小台形の面積は
f(x)
x
0
= a
x
n
= b
x
x
i
x
i+1
小台形
f(x
i
)
f(x
i+
1
)
))()((
2
1+
+
ii
xfxf
h
小台形
9
• 小台形の面積の和は
• 定積分 I を，この和 S
n
で近似 ⇒ 台形則という
f(x)
x
0
= a
x
n
= b
x
))()((
2
1
1
0
+
−
=
+=
ii
n
i
n
xfxf
h
S
x
1
x
2
x
n-1
x
3
x
n-2
台形則 trapezoidal rule
10
• 区間［a，b］を n 等分 (1区間の幅h=(b-a)/n)
• n 個の台形を考え, その面積の和 S
n
で，定積分 I を近
似
• f(x) が連続関数のときは，n を無限大に近づければ，S
n
は I
に近づく
• 但し，単純に「n を大きくすればよい」とは言えない
• n を大きくすると ⇒ 計算時間の問題，丸め誤差の問題が
発生
n
n
ii
n
i
n
Sxfxf
h
I
→
+
−
=
→
=+=
lim))()((
2
lim
1
1
0
台形則による数値積分
11
• 式で書いてある関数の積分
⇒ ごく限られた関数しか定積分できない
• 「数値積分」が重要になる
数値積分の意味
12
• 両端 x
0
= a と x
n
= b を除いて，f(x
i
) は２度現
れる
( )
)()(
2
1
1
0
+
−
=
+=
ii
n
i
n
xfxf
h
S
( )
)())()((2)(
2
110 nn
xfxfxfxf
h
++++=
−
但し h = (b-a) / n
２回現れる部分
++=
−
=
)(
2
1
)()(
2
1
1
1
0 n
n
i
i
xfxfxfh
+++=
−
=
)(
2
1
)()(
2
1
1
1
bfihafafh
n
i
台形則
13
13-2 パソコン演習
14
• 資料を見ながら，「例題」を行ってみる
• 各自，「課題」に挑戦する
• 自分のペースで先に進んで構いません
パソコン演習の進め方
15
• DrScheme の起動
プログラム → PLT Scheme →
DrScheme
• 今日の演習では「Advanced Student」
に設定
Language
→ Choose Language
→ Advanced Student
→ OK
→ 「Execute ボタン」
DrScheme の使用
16
• 接線の傾きを求める関数 d/dx を作り，
実行する
• 数値 x, h と関数 f から，x における f の
傾き（= f' (x)）の近似値を求める
• d/dx は高階関数
例題１．接線の傾き
17
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; d/dx: (number->number) number number -> number
;; inclination of the tangent
;; Example: (d/dx f 3 0.0001)
;; = ((- (f 3.0001) (f 2.9999)) 0.0002)
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f (+ x h)) (f (- x h)))
(* 2 h)))
(define (f2 x)
(- (* x x) 2))
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題２に進んでください
(d/dx f2 3 0.0001)
「例題１．接線の傾き」の手順
18
まず，関数 d/dx を定義している
19
次に関数 f2 を定義している
(define (f2 x)
(- (* x x) 2))
20
これは，
(d/dx f2 3 0.0001)
と書いて，x の値を 3 に,
h の値を 0.0001 に，
f を f2 に設定しての実行
実行結果である「6」が
表示される
21
d/dx
f2'(3) の近似値
入力
出力
f2
3
0.0001
入力は２つの数値と
関数
出力は数値
d/dx は，関数を入力とするような関数
（つまり高階関数）
入力と出力
22
;; d/dx: (number->number) number number -> number
;; inclination of the tangent
;; Example: (d/dx f 3 0.0001)
;; = ((- (f 3.0001) (f 2.9999)) 0.0002)
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f (+ x h)) (f (- x h)))
(* 2 h)))
関数が，
「d/dx」の入力になっている
d/dx 関数
23
(dx/d f2 3 0.0001) から 6 が得られる過程の概略
(dx/d f2 3 0.0001)
= (/ (- (f2 (+ 3 0.0001)) (f2 (- 3 0.0001)))
(* 2 0.0001))
= (/ (- (- (* (+ 3 0.0001) (+ 3 0.0001)) 2)
(- (* (- 3 0.0001) (- 3 0.0001)) 2)
(* 2 0.0001)))
= …
= 6
最初の式
実行結果
コンピュータ内部での計算
但し，f2 は
(define (f2 x)
(- (* x x) 2))
24
(dx/d f2 3 0.0001) から 6 が得られる過程の概略
(dx/d f2 3 0.0001)
= (/ (- (f2 (+ 3 0.0001)) (f2 (- 3 0.0001)))
(* 2 0.0001))
= (/ (- (- (* (+ 3 0.0001) (+ 3 0.0001)) 2)
(- (* (- 3 0.0001) (- 3 0.0001)) 2)
(* 2 0.0001)))
= …
= 6
これは，
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f (+ x h)) (f (- x h)))
(* 2 h)))
の x を 3 で，h を 0.0001 で, f を f2 で置き換
えたもの
25
(dx/d f2 3 0.0001) から 6 が得られる過程の概略
(dx/d f2 3 0.0001)
= (/ (- (f2 (+ 3 0.0001)) (f2 (- 3 0.0001)))
(* 2 0.0001))
= (/ (- (- (* (+ 3 0.0001) (+ 3 0.0001)) 2)
(- (* (- 3 0.0001) (- 3 0.0001)) 2)
(* 2 0.0001)))
= …
= 6
これは，
(define (f2 x)
(- (* x x) 2))
の x を (+ 3 0.0001) や (- 3 0.0001) で置き換えたも
の
26
• 台形則による数値積分の関数
trapezoid を作り，実行する
• 但し，
積分したい関数 f(x) = e
積分区間: [a, b]
区間数: n
-x
2
例題２．台形則による数値積分
27
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
(define (trapezoid-iter f a h k)
(cond
[(= k 1) (f (+ a h))]
[else (+ (f (+ a (* h k)))
(trapezoid-iter f a h (- k 1)))]))
;; trapezoid: number number number -> number
;; to compute the area under the graph of f between a and b
(define (trapezoid f a b n)
(* (/ (- b a) n)
(+ (trapezoid-iter f
a
(/ (- b a) n)
(- n 1))
(/ (f a) 2)
(/ (f b) 2))))
(define (f2 x)
(exp (- (* x x))))
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，課題に進んでください
(trapezoid f2 0 1 1000)
「例題２．台形則による数値積分」の手順
28
まず，関数 trapezoid-iter,
trapezoid を定義している
29
次に関数 f2 を定義している
(define (f2 x)
(exp (- (* x x))))
これは，数値積分したい関数
30
これは，
(trapezoid f2 0 1 1000)
と書いて，a の値を 0 に,
b の値を 1 に，h の値を 1000 に，
f を f2 に設定しての実行
実行結果である
「#i0.7468240714991842」
が表示される
31
(define (trapezoid-iter f a h k)
(cond
[(= k 1) (f (+ a h))]
[else (+ (f (+ a (* h k)))
(trapezoid-iter f a h (- k 1)))]))
;; trapezoid: number number number -> number
;; to compute the area under the graph of f between a
and b
(define (trapezoid f a b n)
(* (/ (- b a) n)
(+ (trapezoid-iter f
a
(/ (- b a) n)
(- n 1))
(/ (f a) 2)
(/ (f b) 2))))
32
• 例題２での台形則の計算の精度が，分割幅を小さ
くするほど高精度になることを確かめる．
• 但し，
積分したい関数 f(x) = e
積分区間 0 から 1
分割数 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280 の８通り
-x
2
例題３．台形則の計算の精度
33
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
(define (trapezoid-iter f a h k)
(cond
[(= k 1) (f (+ a h))]
[else (+ (f (+ a (* h k)))
(trapezoid-iter f a h (- k 1)))]))
;; trapezoid: number number number -> number
;; to compute the area under the graph of f between a and b
(define (trapezoid f a b n)
(* (/ (- b a) n)
(+ (trapezoid-iter f
a
(/ (- b a) n)
(- n 1))
(/ (f a) 2)
(/ (f b) 2))))
(define (f2 x)
(exp (- (* x x))))
これは，例題２と同じ
例題３．「台形則の計算の精度」の手順 (1/2)
34
☆ 次は，課題に進んでください
(trapezoid f2 0 1 10)
(trapezoid f2 0 1 20)
(trapezoid f2 0 1 40)
(trapezoid f2 0 1 80)
(trapezoid f2 0 1 160)
(trapezoid f2 0 1 320)
(trapezoid f2 0 1 640)
(trapezoid f2 0 1 1280)
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行
しなさい
例題３．「台形則の計算の精度」の手順（2/2)
35
• 分割幅を小さくするほど高精度
数値積分の精度
36
• 近似値を求める手法
• 数値微分，数値積分
• 十分に役に立つ
• 「必ず誤差が生じる」ことを意識しながら使うことが
必要
おわりに
37
13-3 課題
38
• f(x) = x cos x について，f'(0), f'(0.2),
f'(0.4), f'(0.6) の値を報告しなさい
• 関数 d/dx （授業の例題１）を使いなさい
• h = 0.1 としなさい
課題１
39
• f(x) = x cos x について，h = 0.1, 0.01,
0.001 と変えて関数 d/dx を実行し，結
果を比べなさい
• h と誤差の関係が分かるグラフを作成せ
よ
演習２
40
• 台形則を使って，次を計算せよ
• 計算結果を，以下と比較せよ
+
=
1
0
1
2log dx
x
x
e
DrScheme での (log 2) の実行結果
演習３
41
• 演習３について，区間数 n を，n = 4, 8, 16,
32, 64, 128 と変えて計算を行い，刻み幅と誤
差の関係を調べよ
• 区間数 n と誤差の関係を書いたグラフを作成せよ
• この場合，おおよそ次の関係が成り立っているこ
とを確認せよ
2
n
c
ISn −
（c は定数）
演習４
42
• 関数 d/dx （例題１）を使って，関数
のグラフをグラフィックスで表示させ
なさい
• プログラムは次ページ以降にある．この
プログラムを実行させ，実行結果を報告
しなさい
• 但し，実行結果の報告では，必ず 関数
f2 を別のものに書き換えて実行しなさい
演習４．関数のグラフ
43
;; d/dx: (number->number) number number -> number
;; inclination of the tangent
;; Example: (d/dx f 3 0.0001)
;; = ((- (f 3.0001) (f 2.9999)) 0.0002)
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f (+ x h)) (f (- x h)))
(* 2 h)))
;; samples: (number->number) number number number -> list of
'posn' structure
(define (samples f a h k)
(cond
[(= k 1) (cons (make-posn (+ a h)
(f (+ a h)))
empty)]
[else (cons (make-posn (+ a (* h k))
(f (+ a (* h k))))
(samples f a h (- k 1)))]))
44
; window size
(define WX 500)
(define WY 500)
; grid color, axis color and
(define GRID_COLOR 'blue)
(define AXIS_COLOR 'red)
(define GRAPH_COLOR 'red)
; draw-a-line
(define (sessen x px py d)
(+ (* d (- x px)) py))
(define (draw-a-sessen from to px py d x0 y0 sx sy)
(draw-solid-line (make-posn (+ (* from sx) x0) (+ (* (sessen from px py d) sy)
y0))
(make-posn (+ (* to sx) x0) (+ (* (sessen to px py d) sy) y0))
GRAPH_COLOR))
(define (draw-sessen f px x0 y0 sx sy)
(draw-a-sessen (/ (- x0) sx) (/ (- WX x0) sx) px (f px) (d/dx f px 0.00001) x0
y0 sx sy))
45
; draw-polyline
(define (draw-polyline a-poly)
(cond
[(empty? (rest a-poly)) true]
[else (and
(draw-solid-line (first a-poly)
(first (rest a-poly)) GRAPH_COLOR)
(draw-polyline (rest a-poly)))]))
; draw-h-lines
(define (draw-h-lines start skip stop width)
(cond
[(>= start stop)
(draw-solid-line (make-posn 0 stop) (make-posn width stop)
GRID_COLOR)]
[else
(and
(draw-solid-line (make-posn 0 start) (make-posn width start)
GRID_COLOR)
(draw-h-lines (+ start skip) skip stop width))]))
46
; draw-v-lines
(define (draw-v-lines start skip stop height)
(cond
[(>= start stop)
(draw-solid-line (make-posn stop 0) (make-posn stop height)
GRID_COLOR)]
[else
(and
(draw-solid-line (make-posn start 0) (make-posn start height)
GRID_COLOR)
(draw-v-lines (+ start skip) skip stop height))]))
; (x0, y0) is the origin. sx and sy represent one grid size
(define (draw-grid x0 y0 sx sy)
(and
(draw-v-lines (- x0 (* (quotient x0 sx) sx)) sx (+ (* (quotient (- WX x0) sx) sx)
x0) WY)
(draw-h-lines (- y0 (* (quotient y0 sy) sy)) sy (+ (* (quotient (- WY y0) sy) sy)
y0) WX)
(draw-solid-line (make-posn 0 y0) (make-posn WX y0) AXIS_COLOR)
(draw-solid-line (make-posn x0 0) (make-posn x0 WY) AXIS_COLOR)))
47
; (x0, y0) is the origin. sx and sy represent one grid size
(define (scaling a-list x0 y0 sx sy)
(cond
[(empty? a-list) empty]
[else (cons (make-posn (+ (* (posn-x (first a-list)) sx) x0)
(+ (* (posn-y (first a-list)) sy) y0))
(scaling (rest a-list) x0 y0 sx sy))]))
;
; f2: number -> number
(define (f2 x)
(- (* x x) 2))
; (X0, Y0) reprerents the origin of the graph.
; SX and SY represent the size of one grid
(define X0 (/ WX 2))
(define Y0 (/ WY 2))
(define SX 50)
(define SY 50)
(define PX 0.5)
(start WX WY)
(draw-grid X0 Y0 SX SY)
(draw-polyline (scaling (samples f2 (/ (- X0) SX) (/ 1 SX) WX) X0 Y0 SX SY))
(draw-sessen f2 PX X0 Y0 SX SY)
48
