アウトライン
14-1 ニュートン法
14-2 パソコン演習
14-3 課題
2
14-1 ニュートン法
3
本日の内容
•ニュートン法による非線形方程式の求解
•x0, x1, x2... の収束の様子を観察し，ニュートン法
の理解を深める
•ニュートン法で，解が求まらない場合がありえるこ
とを理解する
4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
x3–6x2+11x –6
解解解
5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
関数上の点
関数上の点を，
１つ選ぶ 6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
接線
関数上の点 接線を引く
7
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
接線
関数上の点
接線と
x 軸の交点 解
接線と x 軸の交点は，
解の１つに近い（と
望むことができる）
8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
接線 y = f '(a)(x - a) + f(a)
関数上の点 (a, f(a))
接線と
x 軸の交点
(a - f(a)/f '(a), 0)
関数上の点 から
接線と x 軸の交点
が求まる
)(, afa
0),(/)(' afafa
9
•初期近似値 x0から出発
•反復公式
を繰り返す
•x1, x2, x3... は，だんだんと解に近づいていく
（と望むことができる）
)('
)(
1
i
i
ii xf
xf
xx
ニュートン法
10
•初期近似値 x0から出発
•反復公式
を繰り返す
•x1, x2, x3... は，だんだんと解に近づいていく
（と望むことができる）
)('
)(
1
i
i
ii xf
xf
xx
これは，点（xi, f(xi) ）における 接線と，
x軸(y=0) との交点 (xi+1, 0) を求めている
ニュートン法
11
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
関数上の点 (0, -6)
x0= 0
接線と x 軸の交点 (0.54545454..., 0)
x1= 0.54545454...
12
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
関数上の点 (0.54545454..., -1.62283996...)
x1= 0.54545454...
接線と x 軸の交点 (0.84895321..., 0)
x2= 0.84895321...
13
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
関数上の点 (0.84895321..., -0.37398512...)
x2= 0.84895321...
接線と x 軸の交点 (0.97467407..., 0)
x3= 0.97467407...
14
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
x
関数上の点 (0.97460407..., -0.052592310...)
x3= 0.97467407...
接線と x 軸の交点 (0.99909154..., 0)
x3= 0.999909154...
15
f(x) = x3–6x2+11x –6, x0= 0 では：
x0= 0
f(x0) = -6, f '(x0) = 11
⇒x1= x0- f(x0)/f '(x0) = 0.54545454...
x1= 0.54545454...
f(x1) = -1.62283996..., f '(x1) = 5.3471074...
⇒x2= x1- f(x1)/f '(x1) = 0.84895321...
x2= 0.84895321...
f(x2) = 0.37398512..., f '(x2) = 2.9747261...
⇒x3= x2- f(x2)/f '(x2) = 0.97460407...
ニュートン法の例
16
ある小さな正の数δに対して
となった時点で計算を終了し xnを解とする
)( n
xf
「反復公式」を繰り返すのだが
⇒いつ止めたらいいのか？
・ 決定打は無いのだが，今日の授業では次のやり方で
行ってみる
どうやって計算を終了するか
17
•「+」では，足したいものを３つ以上並べても
よい
例） 2x2-3x -1
(+ (* 2 x x)
(* -3 x)
-1))
Scheme での多項式の書き方
18
14-2 パソコン演習
19
•資料を見ながら，「例題」を行ってみる
•各自，「課題」に挑戦する
•自分のペースで先に進んで構いません
パソコン演習の進め方
20
•DrScheme の起動
プログラム → PLT Scheme → DrScheme
•今日の演習では「Intermediate Student」
に設定
Language
→ Choose Language
→ Intermediate Student
→ Execute ボタン
DrScheme の使用
21
•非線型方程式 f(x) = 0 をニュート
ン法で解く関数 newton を作り，
実行する
•方程式:f
•初期近似値： x0
例題１．ニュートン法による
非線形方程式の解
22
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
•入力した後に，Execute ボタンを押す
;; d/dx: (number->number) number number -> number
;; inclination of the tangent
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f(+ x h)) (f(- x h)))
(* 2 h)))
(define (is-good? f guess delta)
(< (abs (f guess)) delta))
(define (improve f guess)
(- guess (/ (f guess) (d/dx f guess 0.0001))))
;; newton: (number->number) number number number ->
number
(define (newton f guess delta number)
(cond
[(or (is-good? f guess delta)
(< number 0)) guess]
[else (newton f(improve f guess) delta (- number 1))]))
(define (f2 x)
(+ (* x x x) (* -6 x x) (* 11 x) -6))
「例題１．ニュートン法による非線形方程式の解」の手順 (1/2)
23
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆次は，課題に進んでください
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
「例題１．ニュートン法による非線形方程式の解」の手順 (2/2)
24
まず，関数 newton
などを定義している
25
次に関数 f2 を定義している
(define (f2 x)
(+ (* x x x) (* -6 x x) (* 11 x) -6))
26
これは，
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
と書いて，guess の値を #i0 に,
delta の値を 0.0001 に，
number の値を 10000 に
fをf2 に設定しての実行
実行結果である
「#i0.9999987646860998」
が表示される 27
newton
f2 = 0 の近似解
の１つ
入力 出力
f2
#i1
0.00001
10000
入力は１つの関数と，
３つの数値
出力は数値
newton は，関数を入力とするような関数
（つまり高階関数）
newton の入力と出力
28
;; d/dx: (number->number) number number -> number
;; inclination of the tangent
(define (d/dx f x h)
(/ (- (f(+ x h)) (f(- x h)))
(* 2 h)))
(define (is-good? f guess delta)
(< (abs (f guess)) delta))
(define (improve f guess)
(- guess (/ (f guess) (d/dx f guess 0.0001))))
;; newton: (number->number) number number number -> number
(define (newton f guess delta number)
(cond
[(or (is-good? f guess delta)
(< number 0)) guess]
[else (newton f(improve f guess) delta (- number 1))]))
29
•初期近似値の決め方
•初期近似値によって，求まる解が変わってくる
•求まる解は，あくまでも「近似解」
例：この例題では
#i0.9999987646860998
→#i 付きの近似計算で十分
•虚数解は求まらない
ニュートン法の注意点
30
(newton f2 #i0 0.00001 10000)の結果
#i0.9999987646860998
(newton f2 #i10 0.00001 10000)の結果
#i3.0000000168443197
（違う値が得られた）
31
(newton f2 0 0.00001 10000)の結果
⇒結果は「有理数」で得られる
（画面には表示しきれない）
32
•繰り返しの終了条件は２つ
•収束の条件を満足した
•繰り返しの上限回数を超えた
•入力は４つ
•求めるべき関数: f
•初期近似値:guess
•収束条件を決める値:delta
•繰り返し回数の上限:number
)( n
xf
「ニュートン法のプログラム」
の理解のポイント
33
•x0から始める
•x1を求める
•x2を求める
…
•「収束の条件を満足する」か「繰り
返しの上限回数を超える」まで続け
る
ニュートン法の繰り返し処理
34
1. 「収束した」あるいは「繰り返しの上限回数を超え
た」 ならば：→終了条件
現在の xnの値 →自明な解
2. そうで無ければ：
–「接線と x 軸の交点の計算」を行う
求まった交点の x 座標の値は xn+1
–結局，「収束する」か「繰り返しの上限
回数を超える」まで，接線と x 軸の交点
の計算を繰り返す
ニュートン法の繰り返し処理
35
(or (is-good? f guess delta)
(< number 0))
(newton
f
(improve guess)
delta
(- number 1))
Yes
No
現在の guess
の値が解
ニュートン法の繰り返し処理
36
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
= ...
= (newton (improve f2 #i0) 0.00001 9999)
= ...
= (newton #i0.5454545449588037 0.00001 9999)
= ...
= (newton (improve f2 #i0.5454545449588037) 0.00001 9998)
= ...
= (newton #i0.8489532098093157 0.00001 9998)
= ...
= (newton (improve f2 #i0.8489532098093157 ) 0.00001 9997)
= ...
= #i0.9999987646860998
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
から結果が得られる過程
最初の式
実行結果
コンピュータ内部での計算
37
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
= ...
= (newton (improve f2 #i0) 0.00001 9999)
= ...
= (newton #i0.5454545449588037 0.00001 9999)
= ...
= (newton (improve f2 #i0.5454545449588037) 0.00001 9998)
= ...
= (newton #i0.8489532098093157 0.00001 9998)
= ...
= (newton (improve f2 #i0.8489532098093157 ) 0.00001 9997)
= ...
= #i0.9999987646860998
(newton f2 #i0 0.00001 10000)
から結果が得られる過程
これは，
(define (newton f guess delta number)
(cond
[(or (is-good? f guess delta)
(< number 0)) guess]
[else (newton f (improve f guess) delta (- number 1))]))
のfをf2 で，guess を#i0 で，delta を0.00001で, number を10000 で置き換
えたもの
38
•ニュートン法では，現在の xnの誤差（どれだけ真
の値に近いか）は，正確には分からない
ニュートン法での判定基準
39
•is-good? が収束条件を判定
(define (is-good? f guess delta)
(< (abs (fguess)) delta))
が成立するとき，出力は true.
（さもなければ false）
abs は「絶対値」
を求める
)( n
xf
ニュートン法での収束条件
40
number: カウンタ（繰り返しの残り回数）
guess: xnの値（計算の途中結果）
number ← number －1
guess ← (improve guess) を繰り返す
ニュートン法での繰り返し処理
41
(define (newton f guess delta number)
(cond
[(or (is-good? f guess delta)
(< number 0)) guess]
[else (newton f (improve f guess) delta (- number 1))]))
guess ← (improve f guess)
number ← number －1
ニュートン法での繰り返し処理
42
(newton f #i1 0.00001 10000)
= …
= (newton f #i3.0 0.00001 10000)
= …
= (newton f #i2.3333333333333335 0.00001 9999)
= …
= (newton f #i2.238095238095238 0.00001 9998)
= …
= (newton f #i2.2360688956433634 0.00001 9997)
= …
= (newton f #i2.236067977499978 0.00001 9996)
= …
f(x) = x2- 5 での x1, x2... の収束の様子
guess delta number
方程式 f(x) = x2 - 5
f(x)の導関数 f '(x) = 2x
43
•初期近似値の決め方
•初期近似値の設定の際、あまりに解と掛け離れた
値を与えると、収束するのに時間がかかったり、
収束しなかったりする
•delta の決め方
•どの程度の精度で計算するかを決定していないと，
εが決まらない
ニュートン法の注意点
44
初期近似値の選び方次第
では，収束がしないこと
がありえる
ニュートン法は, 出発点と
する十分近い解を見付け
ることができれば, 収束が
早い.
対策
0x
f(x)
１
２
３
関数ｆ(x)が単調でなくて変曲点を持つ
（つまりｆ’(x)の符号が変わる）とき
例） 上の図では：
２： f'(x) = 0
３： y 軸との交点が求まらない
（負の無限大に発散）
→収束しない
繰り返しの上限回数 number を設定
ニュートン法の能力と限界
45
14-3 課題
46
•立方根を求めるプログラムを，Newton 法のプロ
グラムを利用して作成せよ
•f(x) = x3- a = 0 を解く
•a が負のときにも正しく負の立方根を求めることができ
ることを確認せよ
•delta の値を変えて実行を繰り返し，得られた解の値の
変化も報告しなさい
課題１
47
1. f(x) = x2- 5 のグラフを書け（手書き）
2. 1. で作成したグラフに，ニュートン法での，x0,
x1, x2, x3の値を書き加えなさい
但し，
•関数
方程式 f(x) = x2- 5
•入力
初期値 x0= 1
収束条件を決める値 delta = 0.00001
繰り返し回数の上限 number = 10000
x1, x2, x3の値は，実際にニュートン法のプログラムを実
行して得ること
課題２．ニュートン法での収束
48
•(x-1)4(x-2) = 0 をnewton 法で解け
•初期近似値を変えて実行を繰り返し，得られた解の値
の変化も報告しなさい
課題３
49
•Newton 法により f(x) = tan-1 x + 0.3x を解け
•初期近似値の選び方によっては，正しく解を求めるこ
とができない．その理由についても考え，グラフを書
いて説明しなさい．
演習４
50
さらに勉強したい人への
補足説明事項
区間二分法
51
•非線形方程式の求解の一手法
区間二分法
52
•連続関数 f の性質
「f(a)<0<f(b)ならば，[a, b]の間に f(x) = 0 の解
がある
a
b
f(a)
f(b)
0x
f(x)
解
区間二分法 (half-interval method) の考え方
53
•「区間」を半分ずつ縮小するような処理手順
1. ２点 a, b を定める
2. ２点a,bの中点(a+b)/2について：
f((a+b)/2)>0ならば →解は，[a, (a+b)/2]にある
f((a+b)/2)<0ならば →解は，[(a+b)/2, b]にある
3. 2. を繰り返す．「区間」の幅が小さくなる →解
の近似値を得られる
a
b
f(a)
f(b)
2
ba
区間二分法 (half-interval method) の処理手順
54
•f(x)=x2–2 を区間二分法で解くプ
ログラム half-interval を書く
•f(x) = x2- 2
解は √２と－√２
例題２．区間二分法による非線形方程式の解
55
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
•入力した後に，Execute ボタンを押す
(define (fx)
(- (* x x) 2))
(define (good-enough? a b)
(< (- b a) 0.000001))
(define (middle a b)
(/ (+ a b) 2))
(define (half-interval a b)
(cond
[(good-enough? a b)a]
[else
(cond
[(< (f(middle a b)) 0) (half-interval (middle a b) b)]
[(= (f(middle a b)) 0) (middle a b)]
[(> (f(middle a b)) 0) (half-interval a (middle a b))])]))
「例題２．区間二分法法による非線形方程式の解」の手順(1/2)
56
(half-interval 0 2)
(half-interval -2 0)
(half-interval 2 4)
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行
しなさい
•正しい解が得られている場合と，得られていな
い場合があることを確認しなさい
「例題２．区間二分法による非線形方程式の解」の手順
(2/2)
57
> (half-interval 0 2)
1.4142131805419921875
→正しい
> (half-interval -2 0)
-0.00000095367431640625
→正しくない
> (half-interval 2 4)
2
→正しくない
「区間二分法による非線形方程式の解」の実行結果
58
half-interval
1.4142131805419921875
入力 出力
a の値: 0
b の値: 2
入力は２つの数値 出力は数値
入力と出力
59
•関数
•方程式 f(x)
•入力
•初期値 a, b
•出力
•解
区間二分法のプログラム
60
1. 初期値 a, b の決定
2. 区間を半分に縮小
•ｆ((a+b)/2) の値が
正： b ← ((a+b)/2
０： (a+b)/2 が解である
負： a ← ((a+b)/2
3. 2. を繰り返す
区間二分法の処理手順
61
f(x) = x2-2, a = 0, b = 2 の場合
a = 0, b = 2
f((a+b)/2) = f(1) = -1
⇒a を「1」に
a = 1, b = 2
f((a+b)/2) = f(1.5) = 0.25
⇒b を「1.5」に
a = 1, b = 1.5
f((a+b)/2) = f(1.25) = -0.4375
⇒a を「1.25」に
区間二分法の処理手順
62
•half-interval の内部に half-interval が登場
•half-interval の実行が繰り返される
(define (half-interval a b)
(cond
[(good-enough? a b)a]
[else
(cond
[(< (f(middle a b)) 0) (half-interval (middle a b) b)]
[(= (f(middle a b)) 0) (middle a b)]
[(> (f(middle a b)) 0) (half-interval a (middle a b))])]))
区間二分法の繰り返し処理
63
•good-enough? が収束条件を判定
(define (good-enough? a b)
(< (- b a) 0.000001))
b - a < 0.000001 が成立するとき，出力は true.
（さもなければ false）
*「0.000001」 は適当に決めた値
区間二分法での収束条件
64
•繰り返しの終了条件は２つ
•b –a の値が，「しきい値」を下回った（収束した）
•「ｆ((a+b)/2) = 0」となった
•入力は２つ
•初期値 a, b
•繰り返し処理： 反復的プロセス
「区間二分法のプログラム」
の理解のポイント
65
•f(a) ≧0, f(b)≦0 でないと，解が得られな
い
a
b
f(a)
f(b)
0x
f(x)
解
区間二分法での注意点
66
(half-interval 0 2)
= …
= (half-interval (middle 0 2) 2)
= …
= (half-interval 1 2)
= …
= (half-interval 1 (middle 1 2))
= …
= (half-interval 1 3/2)
= …
= (half-interval (middle 1 3/2) 3/2)
•例題２の「区間二分法」のプログラムについて，
(half-interval 0 2) から(half-interval (middle 1 3/2) 3/2) まで
の過程を確認する
例題３．区間二分法での繰り返し処理
67
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
•Intermediate Student で実行すること
•入力した後に，Execute ボタンを押す
2. DrScheme を使って，ステップ実行の様子を
確認しなさい （Step ボタン，Next ボタンを使用）
•理解しながら進むこと
例題２に
１行書き加える
(define (fx)
(- (* x x) 2))
(define (good-enough? a b)
(< (- b a) 0.000001))
(define (middle a b)
(/ (+ a b) 2))
(define (half-interval a b)
(cond
[(good-enough? a b)a]
[else
(cond
[(< (f(middle a b)) 0) (half-interval (middle a b) b)]
[(= (f(middle a b)) 0) (middle a b)]
[(> (f(middle a b)) 0) (half-interval a (middle a b))])]))
(half-interval 0 2)
「例題３．区間二分法での繰り返し処理」の手順
68
