関数を入力として受け取る高階関数の理解と、べき級数
によるテーラー展開の実装
【学習内容の構成】
1. 高階関数reduce：リストの要素を関数で畳み込み、
総和などを計算
2. 数列の和series：関数fと数値nから(f 1)+(f 2)+...+(f
n)を求める
3. べき級数taylor-series：テーラー展開の一般形を実
装し、指数関数・cos関数・対数関数の近似値を計
算
• 前提：Schemeの基本構文、再帰、リスト操作、置き
換えモデルの理解
• 意義：数学的な級数展開をプログラムで表現する能力
の獲得
2
• 高階関数のプログラムを理解できるように
なる
1. リスト処理の関数 reduce
2. 数列の和 series
3. べき級数 taylor-series
– 指数関数のテーラー展開 my-exp
– cos 関数のテーラー展開 my-cos, my-log
– 対数関数のテーラー展開 my-cos, my-log
今日の到達目標
3
• 関数の入力が，関数である
高階関数とは
4
置き換えモデル
• 関数のパラメータが，実際の値で置き換わる
• 変数が実際の値で置き換わる
• 関数が，その「中身」で置き換わる
置き換えモデル(substitution model)のプロセス
5
• (expt 11 200)
11
200
を，有理数で計算
⇒ 結果は有理数で得られる
• (expt #i11 200)
11
200
を，十数桁の小数で計算（近似値）
⇒ 結果は小数で得られる
(expt #i11 200) = #i1.8990527646046183e+208
この「#i」は「結果が近似値」という意味
#i の意味
6
•1.8990527646046183e+208
= 1.8990527646046183 × 10
208
[参考]
1.23e-005 = 1.23 × 10
-5
= 0.0000123
10 の 208 乗の意味
e+208 の意味
7
• #iを付けると近似計算
• 計算結果として，近似値を得たいとき，#i を付ける
例）(expt #i11 200)
• sin, cos, log 等の値は，近似値でしか得られない
例：「(sin 0.1)」を実行すると →
#i0.09983341664682816
• 近似値を使った計算を繰り返すと，誤差が積み重な
る
近似計算について
8
9-2 パソコン演習
9
• 資料を見ながら，「例題」を行ってみる
• 各自，「課題」に挑戦する
• 自分のペースで先に進んで構いません
パソコン演習の進め方
10
• DrScheme の起動
プログラム → PLT Scheme →
DrScheme
• 今日の演習では「Advanced Student」
に設定
Language
→ Choose Language
→ Advanced Student
→ OK
→ 「Execute ボタン」
DrScheme の使用
11
• 高階関数を実行するとき
• DrScheme の Language で Advanced Student を
選択すること
Intermediat
e
Student
Advanced
Student
高階関数の
実行
不可 可能
ステップ実
行の機能
あり なし
Advanced Student
12
• 数のリスト a-list から総和を求める関数 list-
sum を作る
• 但し，次の高階関数 reduce を使う
;; reduce: (number, data)->data, data, list -> data
;; (reduce g 0 (list 1 2 3)) = (g 1 (g 2 (g 3 0)))
(define (reduce op base L)
(cond
[(empty? L) base]
[else (op (first L)
(reduce op base (rest L)))]))
例題１．リストの総和
13
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; reduce: (number data -> data) data list -> data
;; (reduce g 0 (list 1 2 3)) = (g 1 (g 2 (g 3 0)))
(define (reduce op base L)
(cond
[(empty? L) base]
[else (op (first L)
(reduce op base (rest L)))]))
;; list-sum: list -> number
;; total of a list
;; (list-sum (list 40 90 80)) = 210
(define (list-sum a-list)
(reduce + 0 a-list))
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題２に進んでください
(list-sum (list 1 2 3))
(list-sum empty)
「例題１．リストの総和」の手順
14
まず，関数 reduce を定義している
15
次に関数 list-sum を定義している
(define (list-sum a-list)
(reduce + 0 a-list))
16
これは，
(list-sum (list 1 2 3))
と書いて，a-list の値を
(list 1 2 3) に設定しての実行
実行結果である「6」が
表示される
17
reduce
(g 1 (g 2 (g 3 0)))
の値
(g が足し算 + のときは
1+2+3+0 = 6）
入力
出力
(list 1 2 3)
0
g
入力はリスト，数値
と関数
出力は数値
reduce は，関数を入力とするような関数
（つまり高階関数）
入力と出力
18
;; reduce: (number data -> data) data list -> data
;; (reduce g 0 (list 1 2 3)) = (g 1 (g 2 (g 3 0)))
(define (reduce op base L)
(cond
[(empty? L) base]
[else (op (first L)
(reduce op base (rest L)))]))
;; list-sum: list -> number
;; total of a list
;; (list-sum (list 40 90 80)) = 210
(define (list-sum a-list)
(reduce + 0 a-list))
関数 op が，「reduce」
の入力になっている
19
(list-sum (list 1 2 3)) から 6 に至る過程の概略
(list-sum (list 1 2 3))
= (reduce + 0 (list 1 2 3))
= …
= (+ 1 (reduce + 0 (list 2 3)))
= …
= (+ 1 (+ 2 (reduce + 0 (list 3))))
= …
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 (reduce + 0
empty))))
= ...
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 0)))
= …
= 6
最初の式
実行結果
コンピュータ内部での計算
20
(reduce + 0 (list 1 2 3) から
(+ 1 (reduce + 0 (list 2 3) に至る過程
(list-sum (list 1 2 3))
= (reduce + 0 (list 1 2 3))
= …
= (+ 1 (reduce + 0 (list 2 3)))
= …
= (+ 1 (+ 2 (reduce + 0 (list 3))))
= …
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 (reduce + 0
empty))))
= ...
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 0)))
= …
= 6
(reduce + 0 (list 1 2 3))
= (cond
[(empty? (list 1 2 3)) 0]
[else (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))])
= (cond
[false 0]
[else (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))])
= (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))
= (+ 1 (reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))
= (+ 1 (reduce + 0 (list 1 2)))
この
部分は
21
(reduce + 0 (list 1 2 3) から
(+ 1 (reduce + 0 (list 2 3) に至る過程
(list-sum (list 1 2 3))
= (reduce + 0 (list 1 2 3))
= …
= (+ 1 (reduce + 0 (list 2 3)))
= …
= (+ 1 (+ 2 (reduce + 0 (list 3))))
= …
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 (reduce + 0
empty))))
= ...
= (+ 1 (+ 2 (+ 3 0)))
= …
= 6
(reduce + 0 (list 1 2 3))
= (cond
[(empty? (list 1 2 3)) 0]
[else (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))])
= (cond
[false 0]
[else (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))])
= (+ (first (list 1 2 3))
(reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))
= (+ 1 (reduce + 0 (rest (list 1 2 3))))
= (+ 1 (reduce + 0 (list 1 2)))
この
部分は
これは，
(define (reduce op base L)
(cond
[(empty? L) base]
[else (op (first L)
(reduce op base (rest L)))]))
の op を + で，base を 0 で，L を (list 1 2 3) で置き換えたも
の
22
• #iを付けた近似計算を試してみるために，expt
を使って，11 の 200 乗を計算してみる
(expt 11 200)
(expt #i11 200)
「#i」 は近似値という意味．近似計算でよい
ことをコンピュータに教えている
例題２．x の n 乗の近似値
23
1. 次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題３に進んでください
(expt 11 200)
(expt #i11 200)
「例題２．x の n 乗の近似値」の手順
24
結果は「近似値」
である
この「#i」は，「近似計算でよい」
ことをコンピュータに教えている
25
• 数列の和を求める高階関数 series を
作る
• 数値 n と関数 f から，(f 1), (f 2), …. (f
n) の和を求める ⇒ (f i) は数列の第 i
項
• series を使って，簡単な数列の和を
求めてみる
• ２乗の和 1
2
+ 2
2
+ … + n
2
• ３乗の和 1
3
+ 2
3
+ … + n
3
=
n
k
kf
1
)(
つまり
数列の和
26
数列の和
• n = 1 のとき
)1()(
1
fkf
n
k
=
=
• n > 1 のとき
−
==
+=
1
11
)()()(
n
k
n
k
kfnfkf
27
28
数列の和
数列 k
2
0
20
40
60
80
100
k
2
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
k
総和が
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; series: number (number -> number) -> number
;; (series f2 3) = (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
(define (series n f)
(cond
[(= n 1) (f 1)]
[else (+ (f n)
(series (- n 1) f))]))
(define (f2 k)
(* k k))
(define (f3 k)
(* k k k))
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題４に進んでください
(series 3 f2)
(series 4 f3)
「例題３．数列の和」の手順
29
まず，関数 series
を定義している
30
次に関数 f2, f3 を定義している
(define (f2 k)
(* k k))
(define (f3 k)
(* k k k))
31
これは，
(series 3 f2)
と書いて，n の値を 3,
f の値を f2 に設定しての実行
実行結果である「14」が
表示される
32
series
(f2 3), (f2 2), (f2 1) の和
入力
出力
3
f2
入力は１つの数値と
関数
出力は数値
series は，関数を入力とするような関数
（つまり高階関数）
入力と出力
33
;; series: number (number -> number) -> number
;; (series f2 3) = (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
(define (series n f)
(cond
[(= n 1) (f 1)]
[else (+ (f n)
(series (- n 1) f))]))
関数 f が，
「series」の入力になっている
34
(series 3 f2) から 14 に至る過程の概略
(series 3 f2)
= …
= (+ (f2 3) (series 2 f2))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (series 1 f2)))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
= …
= 14
最初の式
実行結果
コンピュータ内部での計算
但し，f2 は
(define (f2 k)
(* k k))
35
(series 3 f2) から
(+ (f2 3) (series 2 f2)) に至る過程
(series 3 f2)
= …
= (+ (f2 3) (series 2 f2))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (series 1 f2)))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
= …
= 14
(series 3 f2)
= (cond
[(= 3 1) (f2 1)]
[else (+ (f2 3)
(series (- 3 1) f2))])
= (cond
[false (f2 1)]
[else (+ (f2 3)
(series (- 3 1) f2))])
= (+ (f2 3) (series (- 3 1) f2))
= (+ (f2 3) (series 2 f2))
この
部分は
36
(series 3 f2) から
(+ (f2 3) (series 2 f2)) に至る過程
(series 3 f2)
= …
= (+ (f2 3) (series 2 f2))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (series 1 f2)))
= …
= (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
= …
= 14
(series 3 f2)
= (cond
[(= 3 1) (f2 1)]
[else (+ (f2 3)
(series (- 3 1) f2))])
= (cond
[false (f2 1)]
[else (+ (f2 3)
(series (- 3 1) f2))])
= (+ (f2 3) (series (- 3 1) f2))
= (+ (f2 3) (series 2 f2))
この
部分は
これは，
(define (series n f)
(cond
[(= n 1) (f 1)]
[else (+ (f n)
(series (- n 1) f))]))
の n を 3 で，f を f2 で置き換えたもの
37
• 例題３の「series」を使って，数列の和のリストを作る高階関数 series-
iter を作る
• 数値 n と関数 f から，
(f 1), (f 2), …. (f n) の和 ・・・ n 項までの和
(f 1), (f 2), …. (f (- n 1)) の和 ・・・ n-1 項までの和
...
(f 1) の値 ・・・ １項までの和
のリストを作る
• series-iter を使って，次の数列の和が Π
2
/6 に近づく様子を観察
する
63
1
2
1
1
1
2
22
1
2
=+++=
=
n
n
数列の和
例題４．数列の和のリスト
38
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; series: number (number -> number) -> number
;; (series f2 3) = (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
(define (series n f)
(cond
[(= n 1) (f 1)]
[else (+ (f n)
(series (- n 1) f))]))
;; series-iter : number (number -> number) -> list
(define (series-iter n f)
(cond
[(= n 0) empty]
[else (cons (series n f) (series-iter (- n 1) f))]))
(define (f4 k)
(/ 1 (* k k)))
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題５に進んでください
(series-iter #i100 f4)
「例題４．数列の和のリスト」の手順
39
まず，関数 series と
series-iter を定義している
40
次に関数 f4 を定義している
(define (f4 k)
(/ 1 (* k k)))
41
これは，
(series-iter #i100 f4)
と書いて，n の値を #i100,
f の値を f4 に設定して
の実行
実行結果が
表示される
42
series-iter
•(f4 3), (f4 2), (f4 1) の和
•(f4 2), (f4 1) の和
•(f4 1) の値
からなるリスト
入力
出力
3
f4
入力は１つの数値と
関数
出力は数値のリスト
series-iter は，関数を入力とするような関数
（つまり高階関数）
入力と出力
43
;; series: number (number -> number) -> number
;; (series f2 3) = (+ (f2 3) (+ (f2 2) (+ (f2 1))))
(define (series n f)
(cond
[(= n 1) (f 1)]
[else (+ (f n)
(series (- n 1) f))]))
;; series-iter : number (number -> number) -> list
(define (series-iter n f)
(cond
[(= n 0) empty]
[else (cons (series n f) (series-iter (- n 1) f))]))
44
1. n = 0 ならば： → 終了条件
empty → 自明な解
2. そうで無ければ：
– 長さが n-1 の「数列の和のリスト」を
作り，その先頭に「第 n 項」をつなげ
る
– この第 n 項は， (series n f) で得られる
数列の和のリスト
45
• べき級数を求める高階関数 taylor-series
を作る
• 数値 x, n と関数 g から，(g 0),
(* (g 1) (expt x 1)), ..., (* (g n) (expt x n)) の
和を求める
• taylor-series を使って，簡単なべき級数
1 + x + 2x
2
+ … + nx
n
を求めてみる
k
n
k
xkg
=0
)(
つまり
例題５．べき級数
46
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; taylor-series: number number (number -> number)
;; -> number
;; (taylor-series 2 3 g) =
;; (+ (* (g 3) (expt 2 3)
;; (+ (* (g 2) (expt 2 2))
;; (+ (* (g 1) (expt 2 1))
;; (g 0))))
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (g1 k)
k)
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題６に進んでください
(taylor-series 2 3 g1)
(taylor-series 2 4 g1)
「例題５．べき級数」の手順
47
級数
• 級数とは： 数列の和
• べき級数とは： の形を
した級数
k
n
k
xkg
=0
)(
48
べき級数
• n = 0 のとき
)0()(
0
gxkg
n
k
k
=
=
• n > 0 のとき
−
==
+=
1
00
)()()(
n
k
knk
n
k
xkgxngxkg
49
まず，関数 taylor-series
を定義している
50
次に関数 g1 を定義している
(define (g1 k)
k)
51
これは，
(taylor-series 2 3 g1)
と書いて，x の値を 2 に，
n の値を 3 に，g の値を g1 に
設定しての実行
実行結果である「34」が
表示される
52
taylor-series
(g1 0),
(* (g1 1) (expt 2 1)),
(* (g1 2) (expt 2 2)),
(* (g1 3) (expt 2 3))
の値の合計
入力
出力
2
3
g1
入力は２つの数値と
関数
出力は数値
taylor-series は，関数を入力とするような関数
= 高階関数
入力と出力
53
;; taylor-series: number number (number -> number)
;; -> number
;; (taylor-series 2 3 g) =
;; (+ (* (g 3) (expt 2 3)
;; (+ (* (g 2) (expt 2 2))
;; (+ (* (g 1) (expt 2 1))
;; (g 0))))
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
taylor-series 関数
54
(taylor-series 2 3 g1) から 34 に至る過程の概略
(taylor-series 2 3 g1)
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (taylor-series 2 2 g1))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (taylor-series 2 1 g1)))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (taylor-
series 2 0 g1))))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (g1 2 0))))
= ...
= 34
最初の式
実行結果
コンピュータ内部での計算
但し，g1 は
(define (g1 k)
k)
55
(taylor-series 2 3 g1) から 34 に至る過程の概略
(taylor-series 2 3 g1)
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (taylor-series 2 2 g1))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (taylor-series 2 1 g1)))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (taylor-
series 2 0 g1))))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (g1 2 0))))
= ...
= 34
(taylor-series 2 3 g)
= (cond
[(= 3 0) (g1 0)]
[else (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))])
= (cond
[false (g1 0)]
[else (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))])
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 2 g1))
この
部分は
56
(taylor-series 2 3 g1) から 34 に至る過程の概略
(taylor-series 2 3 g1)
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (taylor-series 2 2 g1))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (taylor-series 2 1 g1)))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (taylor-
series 2 0 g1))))
= …
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3)) (+ (* (g1 2) (expt 2 2)) (+ (* (g1 1) (expt 2 1)) (g1 2 0))))
= ...
= 34
(taylor-series 2 3 g)
= (cond
[(= 3 0) (g1 0)]
[else (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))])
= (cond
[false (g1 0)]
[else (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))])
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 (- 3 1) g1))
= (+ (* (g1 3) (expt 2 3))
(taylor-series 2 2 g1))
この
部分は
これは，
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
の x を 2 で，n を 3 で，g を g1 で置き換えたもの
57
テーラー展開の式
n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
x
f
fxf
!
)(
)!1(!2
)0(''
!1
)0('
)0()(
1
)1(
2
+
−
++++=
−
−
関数 f が，0 の近傍で定義されていて，
点 0 でn 階微分可能であるとき
但し，
10, =
x
テーラー展開
58
++++==
=
!3!2!1
1
!
32
0
xxx
i
x
e
i
i
x
+−+−=
+
−=
=
+
!7!5!3!1)!12(
)1(sin
753
0
12
xxxx
i
x
x
i
i
i
収束半径：∞
−+−+−=−=
=
!8!6!4!2
1
)!2(
)1(cos
8642
0
2
xxxx
i
x
x
i
i
i
収束半径：∞
収束半径：１
+−+−=
+
−=+
=
+
4321
)1()1(log
432
0
1
xxx
x
i
x
x
i
i
i
e
収束半径：∞
+−+−=
+
−=
=
+
−
75312
)1()(tan
753
0
12
1
xxx
x
i
x
x
i
i
i
収束半径：１
テーラー展開
59
• 例題５の「taylor-series」を使って，指数関数のテー
ラー展開の値を求める
++++==
=
!3!2!1
1
!
32
0
xxx
i
x
e
i
i
x
例題６．指数関数のテーラー展開
60
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; taylor-series: number number (number -> number)
;; -> number
;; (taylor-series 2 3 g) =
;; (+ (* (g 3) (expt 2 3)
;; (+ (* (g 2) (expt 2 2))
;; (+ (* (g 1) (expt 2 1))
;; (g 0))))
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (factorial k)
(cond
[(= k 0) 1]
[else (* k (factorial (- k 1)))]))
(define (exp-term k)
(/ 1 (factorial k)))
(define (my-exp x)
(taylor-series x 20 exp-term))
☆ 次ページに進んでください
例題５
と同じ
「例題６．指数関数のテーラー展開」の手順 (1/2)
61
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題７に進んでください
(my-exp 0)
(my-exp 1)
(my-exp 2)
(my-exp 3)
(my-exp #i1)
(my-exp #i2)
(my-exp #i3)
「例題６．指数関数のテーラー展開」の手順 (2/2)
62
63
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (factorial k)
(cond
[(= k 0) 1]
[else (* k (factorial (- k 1)))]))
(define (exp-term k)
(/ 1 (factorial k)))
(define (my-exp x)
(taylor-series x 20 exp-term))
k の階乗
を求める
taylor-series を使って，
e
x
（の近似値）を計算
べき級数
（例題５と同じ）
係数
64
++++==
=
!3!2!1
1
!
32
0
xxx
i
x
e
i
i
x
(define (exp-term k)
(/ 1 (factorial k)))
指数関数のテーラー展開
65
(define (my-exp x)
(taylor-series x 20 g2))
+++++++==
=
!21!20!3!2!1
1
!
212032
0
xxxxx
i
x
e
i
i
x
x
20
/20! の項まで計算
x
21
/21! 以降の
部分が誤差
my-exp での誤差
66
• 例題５の「taylor-series」を使って，cos 関数のテーラー
展開の値を求める
−+−+−=−=
=
!8!6!4!2
1
)!2(
)1(cos
8642
0
2
xxxx
i
x
x
i
i
i
例題７．cos 関数のテーラー展開
67
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
;; taylor-series: number number (number -> number)
;; -> number
;; (taylor-series 2 3 g) =
;; (+ (* (g 3) (expt 2 3)
;; (+ (* (g 2) (expt 2 2))
;; (+ (* (g 1) (expt 2 1))
;; (g 0))))
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (factorial k)
(cond
[(= k 0) 1]
[else (* k (factorial (- k 1)))]))
(define (cos-term k)
(cond
[(odd? k) 0]
[else
(cond
[(= (remainder k 4) 0) (/ 1 (factorial k))]
[else (/ -1 (factorial k))])]))
(define (my-cos x)
(taylor-series x 20 cos-term))
例題６
と同じ
「例題７．cos 関数のテーラー展開」の手順 (1/2)
68
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題８に進んでください
(my-cos #i0)
(my-cos #i0.2)
(my-cos #i0.4)
(my-cos #i0.6)
(my-cos #i0.8)
「例題７．指数関数のテーラー展開」の手順 (2/2)
69
70
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (factorial k)
(cond
[(= k 0) 1]
[else (* k (factorial (- k 1)))]))
(define (cos-term k)
(cond
[(odd? k) 0]
[else
(cond
[(= (remainder k 4) 0) (/ 1 (factorial k))]
[else (/ -1 (factorial k))])]))
(define (my-cos x)
(taylor-series x 20 cos-term))
k の階乗
を求める
（例題６と同じ）
taylor-series を使って，
cos x （の近似値）を計算
べき級数
（例題５と同じ）
係数
71
−+−+−=−=
=
!8!6!4!2
1
)!2(
)1(cos
8642
0
2
xxxx
i
x
x
i
i
i
−++−+++−+=
!8!6
0
!4
0
!2
01
8
7
6
5
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(define (cos-term k)
(cond
[(odd? k) 0]
[else
(cond
[(= (remainder k 4) 0) (/ 1 (factorial k))]
[else (/ -1 (factorial k))])]))
odd? は
奇数ならば true
cos 関数のテーラー展開
72
• 例題５の「taylor-series」を使って，対数関数の
テーラー展開の値を求める
+−+−=
+
−=+
=
+
4321
)1()1(log
432
0
1
xxx
x
i
x
x
i
i
i
e
例題８．対数関数のテーラー展開
73
1. 次を「定義用ウインドウ」で，実行しなさい
• 入力した後に，Execute ボタンを押す
;; taylor-series: number number (number -> number)
;; -> number
;; (taylor-series 2 3 g) =
;; (+ (* (g 3) (expt 2 3)
;; (+ (* (g 2) (expt 2 2))
;; (+ (* (g 1) (expt 2 1))
;; (g 0))))
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (log-term k)
(cond
[(= k 0) 0]
[else (/ (expt -1 (- k 1)) k)]))
(define (my-log x)
(taylor-series (- x 1) 20 log-term))
☆ 次ページに進んでください
例題７
と同じ
「例題８．対数関数のテーラー展開」の手順 (1/2)
74
2. その後，次を「実行用ウインドウ」で実行しなさい
☆ 次は，例題９に進んでください
(my-log #i1)
(my-log #i1.2)
(my-log #i1.4)
(my-log #i1.6)
(my-log #i1.8)
「例題８．対数関数のテーラー展開」の手順 (2/2)
75
76
(define (taylor-series x n g)
(cond
[(= n 0) (g 0)]
[else (+ (* (g n) (expt x n))
(taylor-series x (- n 1) g))]))
(define (log-term k)
(cond
[(= k 0) 0]
[else (/ (expt -1 (- k 1)) k)]))
(define (my-log x)
(taylor-series (- x 1) 20 log-term))
taylor-series を使っ
て，
log x （の近似値）
を計算
べき級数
（例題５と同じ）
係数
77
432
0
432
xxx
x −+−+=
(define (log-term k)
(cond
[(= k 0) 0]
[else (/ (expt -1 (- k 1)) k)]))
+−+−=
+
−=+
=
+
4321
)1()1(log
432
0
1
xxx
x
i
x
x
i
i
i
e
対数関数のテーラー展開
78
9-3 課題
79
• 次の数値の意味は何か
#i9.313e+020
• 12
100
を求めたい．次の３つを実行して，実行
結果を比較せよ
1. (expt 12 100)
2. (expt #i12 100)
3. (expt 12 #i100)
課題１
80
• 関数 my-exp （授業の例題６）についての問題
• 次の５つの値を報告しなさい．但し x = 1 とする
の値
!1
1
x
+
の値
!3!2!1
1
32
xxx
+++
の値
!4!3!2!1
1
432
xxxx
++++
の値
!5!4!3!2!1
1
5432
xxxxx
+++++
の値
!2!1
1
2
xx
++
課題２
81
• 関数 series-iter （授業の例題４）についての問題
• series-iter を使って，次の数列の和のリストを求めなさい
• 実行結果を報告しなさい
• また、(series-iter #i10 f4) のように実行した場合と，
(series-iter 10 f4) のように実行した場合の違いを報告しな
さい
47
1
5
1
3
1
1
12
)1(
1
1
=+−+−=
−
−
=
+
n
n
n
課題３．数列の和の列１
82
• 関数 series-iter （授業の例題４）についての問題
• series-iter を使って，次の数列の和のリストを求めなさい
• 実行結果を報告しなさい
• また、(series-iter #i10 f4) のように実行した場合と，
(series-iter 10 f4) のように実行した場合の違いを報告しな
さい
1
!3
1
!2
1
1
!
1
1
−=+++=
=
e
n
n
課題４．数列の和の列２
83
• 関数 taylor-series（授業の例題５）を使って，sin
関数のテーラー展開の値を求める関数 my-sin を
作成し，実行結果を報告しなさい
• even? （偶数ならば true）を使うこと
• 正しい値が得られているか確認すること
+−+−=
+
−=
=
+
!7!5!3!1)!12(
)1(sin
753
0
12
xxxx
i
x
x
i
i
i
課題５．sin 関数のテーラー展開
84
• 関数 taylor-series（授業の例題５）を使って，
tan
-1
関数のテーラー展開の値を求める関数 my-
atan を作成し，実行結果を報告しなさい
• even? （偶数ならば true）を使うこと
• 正しい値が得られているか確認すること
+−+−=
+
−=
=
+
−
75312
)1()(tan
753
0
12
1
xxx
x
i
x
x
i
i
i
課題６．tan
-1
関数のテーラー展開
85
