①線形式、線形計画法の基本概念と有用性
②Excelを用いた演習を通じて、線形式と線形計
画法の理解を深める
③身近な例（プリンとケーキの製造）を用いて，
線形計画法を理解
④ データ分析に必要な知識とExcelスキルを同時
に学ぶ
2
アウトライン
1. 線形式
2. 線形式と Excel
3. ２変数の線形式と Excel
4. 線形不等式の制約条件と Excel
5. 線形計画法
6. 線形計画法と Excel
7. 線形計画法と Excel
3
Office 365 の種類
２種類ある．この授業では，どちらを使用しても問題
ない 4
•Office 365 のオンライン版
WEBブラウザで使う．
https://portal.office.com
各自の ID とパスワードでサインインが必要．
•Office 365 のアプリ版
前もってインストールが必要．
インストールでは，大量の通信が行われる．
（時間がかかる．通信費用にも注意）
9-1 線形式
5
6
•データ分析
データの特徴抽出のため、線形式を
用いたデータ変換を行う
•コンピュータグラフィクス
３次元空間におけるオブジェクトの
移動、変形のために線形式を利用
•物理法則
力学、電磁気学の方程式は、多くの
場合線形式で表現される
•線形計画法
制約と、最大化あるいは最小化すべ
き目標関数を線形式で扱う
線形式の有用性
線形式
7
0
x
ax+b
b
a < 0 のとき
右下に傾く
0
x
ax+b
ba = 0 のとき
水平
0
x
ax+b
ba > 0 のとき
右上に傾く
変数 x について
a x + b
a は傾き：x が1増えると、
結果がどの程度変化するか
b は、x = 0 のときの結果
の値
x は変数で、値は変化する
線形式
この式は、３次元空間中に平面を表す
a, b: 平面の傾斜
c: 平面の位置
x, y : 変数、平面上の点の場所に応じて変わる値 8
変数 x, y について
a x + b y + c
9-2 線形式と Excel
9
線形式と Excel
Excel のグラフ作成機能（特に散布図）を用いてデータをプ
ロットすることで、線形式の理解を深めることができる．
（この授業では行わないが）Excel には、データを線形式で
近似する（線形近似）といった、線形式に関する機能が備
わっている。その利用により、データの傾向の把握などが可
能になる。 10
演習
【トピックス】
•線形式
•Excel の散布図
11
変数 x についての線形式
5 x + 3
この散布図を作成
① セル B1, B2 にa, b の値を置く
12
② セル A3 から A10 にx の値を書く
13
③セル B3 に式「= A3 * $B$1 + $B$2」を書く
④ この式を B4 から B10 にコピーする
14
5 x + 3
15
x = 0 のとき 3
x が1増えると, 5 増える
⑤B 列の値を確認する
16
ここまでのまとめ
•線形式はデータ分析、コンピュータグラフィクス、物理法
則、そして線形計画法など、多くの領域で利用される。
•線形式 “ax+b” において、aはx が１増えるときの結果の
変化量（傾き）、b はx = 0 のときの結果の値を表す。
（この式で、x は変数であり、その値は変化する。）
•Excelのグラフ作成機能を用いて、データをプロットする
ことで、線形式の理解を深めることができる。ツールを使
いこなす能力は、データ分析などの実務に直結する。
17
9-3 ２変数の線形式と Excel
18
いまから行うこと
•２つの変数： x, y
（x はプリンの個数、y はケーキの枚数）
•プリン1個を作るのに卵2個、ケーキ1枚を作るのに
卵1個が必要であるとき
たまごの使用量は 2 x + y
•プリン1個を作るのに牛乳 100、ケーキ1枚を作る
のに牛乳 200が必要であるとき
牛乳の使用量は 100 x + 200 y
19
たまごについての線形式
20
資源
たまご
製品
プリン、ケーキ
たまご２個必要 →プリン１個
たまご１個必要 → ケーキ１枚
プリンの個数を x, ケーキの個数を y とすると：
資源と製品の関係は線形式になる
たまご = 2 x + y
線形式
演習
【トピックス】
•線形式
21
変数 x, y についての線形式
たまご = 2 x + y
牛乳 = 100 x + 200 y
この式をさまざまな x, y の
値で計算
① 次の値を書く．数字は半角で．
22
プリン１個 → たまご２個必要
ケーキ１枚 → たまご１個必要
B 列はあとで使いたいのであけておく
②次を書き加える．数字は半角で．
23
③たまごをどれだけ使うか．
「 2 x + y 」を求めるための、次の式を書く．
セル F2 に式「=$C$2 * F$1 + $D$2 * $E2」
24
0 になるので確認
④ セル F2 の式を，F3 から F7 （セル 5個分）
に「コピー＆貼り付け」する． 右クリックメ
ニューが便利
0
1
2
3
4
5
のようになっている
ことを確認． 25
⑤ セル F2 の式を，G2 から K7 に「コピー＆貼
り付け」する． 右クリックメニューが便利
26
プリン
ケーキ 2x + y
27
たまごの量
⑥ セル C2 の値を，4 に変えてみる．数字は半
角で．変化を見る
28
自動計算
⑦ セル C2 の値を，2 に戻しておく．数字は半
角で．
29
自動計算
いまの エクセルファイル に書き加える
30
資源と製品の関係は線形式になる
牛乳 = 100 x + 200 y
⑧必要な牛乳の量を求めたい．
まず，Excel で次の値を書き加える．（セル A3,
C3, D3）
31
⑨ セル E1 から K7 を範囲選択し，右クリックメ
ニューで「コピー」を選び，E8 から K14 に張り付け
る
32
⑩牛乳をどれだけ使うか．
「 100 x + 200 y 」を求めるための、次の式を書く．
セル F9 に式「 =$C$3 * F$8 + $D$3 * $E9 」
33
0 になるので確認
⑪ セル F9 の式を，F10 から F14 （セル 5個
分）に「コピー＆貼り付け」する． 右クリッ
クメニューが便利
0
200
400
600
800
1000
のようになっている
ことを確認． 34
⑫ セル F9 の式を，G9 から K14 に「コピー＆
貼り付け」する． 右クリックメニューが便利
35
プリン
ケーキ 100 x + 200 y
36
次で使うので，Excel を閉じないこと
牛乳の量
9-4 線形不等式の制約条件と
Excel
37
線形不等式
•線形不等式は、意外と難しいものではない。
•線形不等式は、数値の範囲を制約するために使うことがで
きる
例えば、ある数値（a、b、c）が与えられたとき、
「2a + 3b + c ≦ 1000」のような条件式を設ける。
この条件式は、 2a + 3b + c の値が1000を超えないようにする
制約を表す。
•線形不等式は数値の範囲を制約するために使うことができ
る。
38
いまから行うこと
•たまごの使用量は 2 x + y
•牛乳の使用量は 100 x + 200 y
卵は限りがある（量が 10 である）という制約条件
線形不等式
2 x + y ≦10
牛乳は限りがある（量が 1000 である）という制約条件
線形不等式
100 x + 200 y ≦1000
39
演習
【トピックス】
•制約条件
•条件付き書式設定
40
変数 x, y についての線形不等式
たまご 2 x + y ≦10
牛乳 100 x + 200 y ≦1000
x, y の値によっては、制約条件を
満足する場合もあれば、制約条件
を満足しない場合もある。
41
たまご = 2 x + y
たまごが10 しかありません（制約条件）
42
たまご = 2 x + y
たまごが10 しかありません（制約条件）
変数 x, y について
2 x + y ≦10
①前のパート「9-3. ２変数の線形式と Excel」の
ものを引き続き使用する
②セル F2 から K7 を範囲選択し、条件付き書式
次ページに続く 43
オンライン版
アプリ版
どちらか
の表示
③「セルの強調表示ルール」→「指定の値より大きい」
と操作． 「10」を指定し、OKをクリック
44
指定の値より大きい
「10」は半角で
アプリ版
オンライン版
「10」は半角で
指定の値より大きい
いまできたこと
45
ピンクの部分は材料不足
（制約条件を満たさない ）
プリン
ケーキ
たまごの量
46
牛乳 = 100 x + 200 y
牛乳が 1000 しかありません（制約条件）
47
牛乳 = 100 x + 200 y
牛乳が 1000 しかありません（制約条件）
変数 x, y について
100 x + 200 y ≦1000
④セル F9 から K14 を範囲選択し、条件付き
書式
次ページに続く 48
オンライン版
アプリ版
どちらか
の表示
⑤「セルの強調表示ルール」→「指定の値より大きい」
と操作． 「1000」を指定し、OKをクリック
49
指定の値より大きい
「1000」は半角で
アプリ版
オンライン版
「1000」は半角で
指定の値より大きい
いまできたこと
50
ピンクの部分は材料不足
（制約条件を満たさない ）
プリン
ケーキ
牛乳の量
次で使うので，Excel を閉じないこと
まとめ
•変数 x とy についての線形不等式
卵の使用量の制約 2 x + y ≦10
牛乳の使用量の制約 100 x + 200 y ≦1000
x : プリンの個数、 y : ケーキの枚数
•線形不等式は、特定の資源（この場合は卵と牛乳）に対する使
用量の制約条件を表す。
実際に使用する資源の量が、その資源の利用可能な量を超えない
こと。
•xとy （それぞれプリンの個数とケーキの枚数）の値によっては、
これらの制約を満たす場合もあれば、満たさない場合もある。
•制約条件を満たす x とy の組み合わせを見つけることが、大切
になる。（そのための方法が線形計画法になる） 51
9-5 線形計画法
52
線形計画法の実用性
•生産現場（例：工場）では、資源（労働力、原材料、機械
の稼働時間など）が限られている。
•線形計画法は、このような「有限の資源」を効率的に利用
する策を立てる方法。
53
線形計画法
•線形計画法は、限られた資源を最も効率的に活用するため
の意思決定に役立つ．
•目標関数（例：利益の最大化やコストの最小化）を制約条
件下で最大化または最小化することで、最適な策を導き出
す。
目標関数 売り上げ「 150 x + 200 y」を最大化
（プリン150円、ケーキ200円）
•制約条件を扱うために線形不等式を使用。
卵の使用量の制約 2 x + y ≦10
牛乳の使用量の制約 100 x + 200 y ≦1000
x : プリンの個数、 y : ケーキの枚数
54
線形計画法の用途の例
限られた材料で，なるべく多くの製品を作る．
55
線形計画法の有用性
限られた材料で，なるべく多くの製品を作る．
次の問題などを解決
◆資源が余る
◆安い生産物をたくさん作っ
てしまう
56
9-6 線形計画法と Excel
57
演習
【トピックス】
•制約条件
•条件付き書式設定
58
目標関数
売り上げ「 150 x + 200 y」
を最大化
（プリン150円、ケーキ200円）
① 前のパート「線形不等式の制約条件と Excel」の続きである。
②次を書き加える．数字は半角で．
59
③ 次を書き加える．数字は半角で．
60
④収益
「 150 x + 200 y 」を求めるための、次の式を書く．
セル F16 に式「 =$C$4 * F$15 + $D$4 * $E16」
61
0 になるので確認
⑤ セル F16 の式を，F17 から F21 （セル 5個
分）に「コピー＆貼り付け」する． 右クリッ
クメニューが便利
0
200
400
600
800
1000
のようになっている
ことを確認． 62
⑥ セル F16 の式を，G16 から K21 に「コ
ピー＆貼り付け」する． 右クリックメニュー
が便利
63
収益
プリン（１個１５０円）
ケーキ（１個２００円）
64
最大の収益は 1100
だと分かる
65
線形計画法の例
・資源 たまご、牛乳
・生産物 プリン(x)、ケーキ(y)
・資源と生産物の関係
たまご = 2 x + y
牛乳 = 100 x + 200 y
・資源に関する制約条件
たまご 最大 10 2 x + y ≦10
牛乳 最大 1000 100 x + 200 y ≦1000
・目標関数 150 x + 200 y の最大化
x = 2, y = 4 のとき，
150 x + 200 y の最大値 1100 66
線形式
線形式
線形式
全体まとめ
1.線形式
「ax+b」 では、aはxが1増えるときの 「ax+b」の変
化量（傾き）、 bはx=0のときの「ax+b」の値を表す
2. 線形不等式は、数値の範囲を制約できる
例：「2a + 3b + c ≦ 1000」という線形不等式は、 2a
+ 3b + cの値が1000を超えないという制約条件
3. 線形計画法は、制約条件（例：原材料の量、労働
力、機械の稼働時間など）の下で、目標関数（例：
利益 = 売上 - コスト）を最大化または最小化するこ
とで、最適な生産計画や資源配分を導き出す 67
①線形式や線形計画法の理解，Excelを用いた実
践的スキルの習得
②現代社会で求められるデータ分析スキルの習
得
③線形式の幅広い分野への応用を通じた，広い
視野の獲得。日常生活や業務における最適化で，
線形式という考え方が有用
④実務で活用できる有用なスキル．在庫管理、
生産計画、資源配分などビジネスの意思決定に
直結。専門家としてのスキルと視野の向上
68
今回の授業で学ぶ意義と満足感
9-7 演習
（必須ではないが、さらに学
習したい人は、自習に利用し
てください）
69
最大化の例
ブラックコーヒー １個 １３０円
ミルクコーヒー １個 １２０円
ブラックコーヒーの個数を x,
ミルクコーヒーの個数を y ：
売り上げ「 130 x + 120 y」
を最大化
目標関数の最大化
70
資源と生産物の関係の例
71
•ブラックコーヒーの原料
キリマンジャロ 0.15 コロンビア 0.05
•ミルクコーヒーの原料
キリマンジャロ 0.05 コロンビア 0.1
ブラックコーヒーの個数を x,
ミルクコーヒーの個数を y ：
キリマンジャロ = 0.15 x + 0.05 y
コロンビア = 0.05 x + 0.1 y
線形式が２つ
制約の例
72
ブラックコーヒーの個数を x,
ミルクコーヒーの個数を y ：
キリマンジャロ 50トン以下
コロンビア 40トン以下 という制約は
0.15 x + 0.05 y≦50
0.05 x + 0.1 y ≦40
線形式で書かれた制約条件
ここまでのまとめ
•線形不等式の制約条件
•目標関数の値が最大になるように，
•変数の値を調整すること．
0.15 x + 0.05 y≦50
0.05 x + 0.1 y ≦40
130 x + 120 y
変数 x, y の値を調整
73
① 資源の最大値
キリマンジャロ 最大 50トンしか使えない
コロンビア 最大 40トンしか使えない
Excel に次のように入れる．数字は半角で
74
② 資源と生産物の関係
Excel に次のように入れる．数字は半角で
75
ブラックコーヒーの個数を x, ミルクコーヒーの個
数を y とすると：
キリマンジャロ = 0.15 x + 0.05 y
コロンビア = 0.05 x + 0.1 y
③ 収益
ブラックコーヒー 130 円
ミルクコーヒー 120 円
Excel に次のように入れる．数字は半角で
76
④次のように書き加える．数字は半角で．E 列か
らK 列に
77
ブラックコーヒー
ミルクコーヒー
78
⑤ 資源のキリマンジャロをどれだけ使うか
セル F2 に式「=$C$2*F$1 + $D$2*$E2」
79
⑥ 資源のキリマンジャロをどれだけ使うか
セル F2 の式を，F3 から F7 （セル5個分）に「コピー
＆貼り付け」する． 右クリックメニューが便利
80
⑦ 資源のキリマンジャロをどれだけ使うか（続き）
セル F2 の式を，G2 から K7 に「コピー＆貼り付け」
する．
右クリックメニューが便利
81
確認
キリマンジャロの使用量
ブラックコーヒー
ミルクコーヒー
82
⑧セル E1 から K7 を範囲選択し，右クリックメ
ニューで「コピー」を選び，E8 から K14 に張り付け
る
83
⑨コロンビアをどれだけ使うか
セル F9 に式「=$C$3*F$8 + $D$3*$E9」
84
⑩コロンビアをどれだけ使うか
セル F9 の式を，F10 から F14 （セル5個分）に「コ
ピー＆貼り付け」する．
右クリックメニューが便利
85
⑪コロンビアをどれだけ使うか
セル F9 の式を，G9 から K14 に「コピー＆貼り付
け」する．
右クリックメニューが便利
86
確認
ブラックコーヒー
ミルク
コーヒー
87
コロンビア
の使用量
ミルク
コーヒー
キリマンジャロ
の使用量
⑫セル E1 から K7 を範囲選択し，右クリック
メニューで「コピー」を選び，E15 から K21 に
張り付ける
88
⑬ 収益
セル G16 に式「=$C$4*F$15 + $D$4*$E16」
89
⑭収益
セル F16 の式を，F17 から F21 （セル5個分）に「コ
ピー＆貼り付け」する． 右クリックメニューが便利
90
⑮ 収益
セル F16 の式を，G16 から K21 に「コピー＆貼り付
け」する． 右クリックメニューが便利
91
収益
ブラックコーヒー
ミルクコーヒー
92
⑯ セル F2 から K7 を範囲選択し、条件付き
書式をクリック
次ページに続く 93
オンライン版
アプリ版
どちらか
の表示
⑰「セルの強調表示ルール」→「指定の値より大きい」
と操作． 「=$B$2」を指定し、OKをクリック
94
指定の値より大きい
「=$B$2」は半角で
アプリ版
オンライン版
「=$B$2」は半角で
指定の値より大きい
⑯ セル F9 から K14 を範囲選択し、条件付き
書式をクリック
次ページに続く 95
オンライン版
アプリ版
どちらか
の表示
⑰「セルの強調表示ルール」→「指定の値より大きい」
と操作． 「=$B$3」を指定し、OKをクリック
96
指定の値より大きい
「=$B$3」は半角で
アプリ版
オンライン版
「=$B$3」は半角で
指定の値より大きい
97
最大の収益は 62000 だと分かる
98
線形計画法の例
・資源 キリマンジャロ、コロンビア
・生産物 ブラックコーヒー(x)、ミルクコーヒー(y)
・資源と生産物の関係
キリマンジャロ = 0.15 x + 0.05 y
コロンビア = 0.05 x + 0.1 y
・資源に関する制約条件
キリマンジャロ 最大 50
コロンビア 最大 40
・目標関数 130 x + 120 y をなるべく多くすること
99
線形式
線形式
