アウトライン
1-1 離散分布と確率変数
1-2 ポアソン分布
1-3 連続分布
1-4 指数分布
1-5 アーラン分布
2
1-1 離散分布と確率変数
3
離散変数 X の確率分布
Xがi（∈Ω）となる確率
P(i) = Prob[X=i]
Ω：有限個あるいは加算無限個の要素をもつ集合
X：Ω上の値を取る離散変数（離散的確率変数）
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離散変数の確率分布
確率変数 X の確率分布
P ＝{P(i): i∈Ω}
例えば P(0) = 0.1, P(1) = 0.6, P(2) = 0.3 のと
き，P = {0.1, 0.6, 0.3}
確率分布 P は，
0 ≦P(i) ≦1
ΣP(i) = 1
を満足
5
離散変数の確率分布
平均と２乗平均
•確率分布 P に従う確率変数 X の平均
E[X] = Σi・P(i)
•確率分布 P に従う確率変数 X の２乗平均
E[X ] = Σi ・P(i)
i=0
∞
２
i=0
∞２
6
分散
確率分布 P に従う確率変数 X の分散
Var[X] = Σ（i－E[X]) ・P(i)
= E[X ] –(E[X])
i=0
∞２
２ ２
7
1-2 ポアソン分布
8
ポアソン分布
•ランダムに事象が発生する
•観測を始めてから，時間 ｔ 以内に k 個の事象が発
生する確率を考えたい
•時間 ｔ 以内に発生する事象の回数は
離散変数である
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ポアソン分布の定義
•時間 (t, t+⊿t) での事象の確率的法則が
•時刻 t に依存しない
•時刻 t 以前のジョブの数に無関係
時間 (t, t+⊿t) の間の発生確率がλ⊿tと書ける
•⊿t → 0 のとき， ⊿t の間に２つ以上の事象が発生しない
10
ポアソン分布の確率分布関数
•時間 [0, ｔ] 以内に k 個の事象が発生する確率
•時間 [0, t] を整数 n で等分割
⊿t =
•１つの区間では，２つ以上の事象が発生しないく
らいに，細かく分割
•n 個の区間のうちに，ｋ個の区間で事象が発生す
る確率を求める
t
n
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ポアソン分布の確率分布関数
•n 個の区間のうちに，ｋ個の区間で事象が発
生する確率
•n-k 個の区間では，事象が発生しない
•各区間で事象が発生する確率は λ⊿t
(λ⊿t ) ( 1 －λ⊿t)
kn - k
( )
n
k
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ポアソン分布の確率分布関数
kn - k
lim n
k(λ⊿t ) ( 1 －λ⊿t )
n →∞
kn - k
= lim n!
k! ( n－k)! (λ⊿t ) ( 1 －λ⊿t )
n →∞
k
n - k
= lim n!
k! ( n－k)! (λt / n ) ( 1 －λt / n )
n →∞
kn
= lim n!
k! ( n－k)! (λt / n ) ( 1 －λt / n ) ( 1 －λt / n )
n →∞
- k
n
= lim(λt)
k! ( 1 －λt / n ) ( 1 －λt / n )
n →∞
- kk
( n－k)! n
n!
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k
( )
ポアソン分布の確率分布関数
k
n
= lim(λt)
k! ( 1 －λt / n ) ( 1 －λt / n )
n →∞
- kk
( n－k)! n
n!
n
= lim(λt)
k! ( 1 －λt / n )
n →∞
k
= (λt) e
k!
k-λt
n →∞
lim ( 1 + x ) = e
1/x
14
•ポアソン分布 P に従う確率変数 X の平均
E[X] = Σk・P(k)
k=0
∞
= k (λt) e
k!
k-λt
k=0
∞
Σ
= (λt)
(k –1)!
k - 1
k=1
∞
Σ
(λt) e-λt
= (λt) e e
-λt λt
= λt
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ポアソン分布の平均
•ポアソン分布 P に従う確率変数 X の２乗平均
E[X] = Σk・P(k)
= Σk(k－1)・P(k) + Σk・P(k)
= (λｔ) + λｔ
k=0
∞2
k=2
∞
k=1
∞
2
16
ポアソン分布の２乗平均
ポアソン分布の分散
ポアソン分布 P に従う確率変数 X の分散
Var[X] = E[X ] –(E[X])
= λｔ
２
２
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例題
１分あたり平均０．５人の客が来るとする
（但し，ポアソン分布）．１０分間に５人以
上の客がくる確率を求めよ
• λ = 0.5 のポアソン分布になる
•t = 10 を に代入
(λt) e
k!
k-λt
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1-3 連続分布
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確率分布が定まらない場合
•実数値をとる確率変数 X
•Xが特定の値をとる確率： 一般には無限小
•確率分布 P ＝{P(i): i∈Ω} は定まらない
•以下，Xは，正または０の実数値をとるものと
考える
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確率分布関数
•確率変数 X の確率分布関数
F(x) = Prob[X ≦x]
確率分布関数 F(x) は，
0 ≦F(x) ≦1
x1< x2ならば F(x1）≦F(x2)
F(0) = 0
F(∞) = 1
を満足する
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確率分布関数の意味
•確率変数 X が，区間（x, x+⊿x]の値をとる確率
Prob[x < X ≦x + ⊿x]
= F(x+⊿x) －F(x)
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確率密度関数
確率変数 X の確率密度関数
f(x) = lim Prob[x < X ≦x + ⊿x]
= lim F(x+⊿x) －F(x)
=
⊿x→0
1
⊿x1
⊿x
⊿x→0
dF(x)
dx
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平均と分散
•確率密度関数 f(x) に従う確率変数 X の平均
E[X] = x f(x) dx
•確率密度関数 f(x) に従う確率変数 X の分散
Var[X] = (x －E(x)) f(x) dx
∫0
∞
∫0
∞2
24
1-4 指数分布
25
指数分布
•ポアソン分布（ランダムに事象が発生する）
において，ある事象が起きてから，次の事象
が起きるまでの時間を考える
•この「時間」の分布は，指数分布になる
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指数分布の確率分布関数
ある事象が起きてから，次の事象が起きるまで
の時間 ｔ
F(t) = Prob[X ≦t]
= 1 –e－μt
μは処理率と呼ぶ
27
指数分布の確率密度関数
指数分布に従う確率変数 X の確率密度関数
f(x) =
= μe
dF(x)
dx－μt
28
指数分布の平均
指数分布に従う確率変数 X の平均
E[X] = t f(t) dt
= t μedt
= [－t μe] + edt
∫0
∞
－μt
0
∞
∫
－μt
0
∞∫
0
∞－μt
= 1
μ
29
指数分布に従う確率変数 X の分散
E[X] = （t －) f(t) dt
= t f(t) dt －tf(t) dt+ f(t) dt
= [－t μe] + 2 t edt －+
∫0
∞
0
∞
∫
－μt
0
∞∫0
∞－μt
= 1
μ
1
μ
2
2∫∫
0
∞
0
∞
2
μ
1
μ2
22
μ
１
μ
１
μ2
2
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指数分布の分散
ポアソン分布と指数分布
•ポアソン分布において，時刻 t = 0 から T まで
の間に事象が起きない確率
Prob[X>T] = (λT) e
k!
k -λT
k = 0
－λt
= e
•これは λ=μのときの指数分布と等しい
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1-5 アーラン分布
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アーラン分布
•２つの処理 A，B を連続して行う
•A の処理時間は μa の指数分布
•B の処理時間は μb の指数分布
•このときの，処理時間の確率密度関数は？
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アーラン分布の確率密度関数
fc(t) = Prob[ Xa + Xb = t ]
= fa(τ) fb( t －τ) dτ
= μaeμbedτ
∫
0
t
－μaτ －μb(t－τ)
0
t
∫
=
μaμb
－μa－μb( e－e) μa≠μb
－μa ｔ －μb ｔ
μat eμa＝μb
－μa ｔ
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ランダム性は，情報通信の分析にも役立つ
•交換器と通信トラフィックの数理について
•ポアソン分布，指数分布 － ランダム性を表す
•待ち行列 － 交換器の振る舞いを表す
•アーランの即時式モデル －交換器のモデル
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