ce-15. 計算精度と誤差

金子邦彦

（C プログラミング応用）（全１４回）

URL: https://www.kkaneko.jp/pro/c/index.html

C言語における数値計算の精度限界と各種誤差の発生原

因、およびその回避手法の理解。

【学習内容の構成】

• 整数型の特性：int型の表現範囲とオーバーフロー、整

数除算における小数点以下切り捨て

• 浮動小数点数の仕組み：仮数部・指数部による表現、

2進数変換時の丸め誤差

• 誤差の種類と影響：丸め誤差の集積（情報落ち）、桁

落ちによる有効数字の減少

• 誤差回避の実践：2次方程式の解計算を例とした式変

形による桁落ち防止

• 前提：C言語の基本文法、変数宣言、四則演算

• 意義：数値計算プログラムの信頼性向上、計算結果の

妥当性判断能力の獲得

int 型

• C言語では，整数データは int 型などで扱う

• Microsoft Visual C++ では

• int 4バイト

• 扱える値に範囲がある

• -2147483648 ～ 2147483647 (-231 ～ 231-1)

• 符号で１ビット，残りで数を表現

•3

オーバーフロー

• それぞれの型 (int, double など）ごとに「表現可能

な範囲」が定まる

• 計算の途中で「表現可能な範囲」を越えてしまう

こと＝オーバーフロー

•4

少数点以下切り捨て

• 整数の演算において除算を行う場合、除算結果の

小数点以下は切り捨てられる。

• (整数)/(整数)の場合のみ、この小数点以下の切り捨てが

行われる。

• (整数）/（浮動小数点数）や(浮動小数点数）/（整数）

の場合は浮動小数点数型として計算されるので結果に

小数点以下の値も含まれる。

• 異なる型を含む演算では、必要に応じて自動的に型変

換が行われる。

• 予期しない結果を招かないためにも明示的に型変

換をした方がよい。

•5

整数データと浮動小数データの違い

•6

整数データ浮動小数データ

変数

宣言

int kingaku;

int en;

double teihen;

double takasa;

入力

scanf("%d", &kingaku); scanf("%lf", &takasa);

出力

printf("kozeni: %d en¥n",

en);

printf("takasa: %f ¥n",

takasa);

四則

演算

四則演算には，+, -, *, / を

使う

四則演算には，+, -, *, / を

使う

剰余

en = kingaku%1000; z = fmod(x,y);

1/2 の値は 0

•7

#include "stdio.h"

int main()

{

int ch;

double r;

r = 1 / 2;

printf("r = %f¥n ", r );

ch = getchar();

}

このプログラムの実行結果は，直感とは一致しない

かも知れない

r = 0.000000

右辺に整数の変数しか登場しないので，右辺は整数

の精度で計算される

1.0/2.0 の値は 0.5

•8

#include "stdio.h"

int main()

{

int ch;

double r;

r = 1.0 / 2.0;

printf("r = %f¥n ", r );

ch = getchar();

}

「 1 / 2 」と「 1.0 / 2.0 」は，意味が違う

r = 0.500000

右辺に浮動小数の変数が登場するので，右辺は浮動小数

の精度で計算される

1/2 と 1.0/2.0 の違い

• 1/2 は，整数と整数の割り算

• 文法的には「2000/30 (値は66）」と書くのと同じ

• 1/2 の値は 0 （やはり整数）

• 1.0/2.0 は，浮動小数と浮動小数の割り算

• 1.0/2.0 の値は 0.5 （浮動小数）

•9

0除算

• ある数を0で割る(0除算）と、プログラムは異常終

了する。

• 調和平均を求める場合、入力データに0が含まれると、

0除算が起こり異常終了する。

• 割り算を行う場合は割る数が0でないことを調べて

から行う。

• 入力データが0であることを検知して、調和平均の計算

を止めるようする。

•10

浮動小数点数の演算

•11

計算機内での数値の表現

• 数値の桁数は変数の型によって決まっている。

• int型 32ビット (Microsoft Visual C++の場合）

•12

(10)

00000000000000000000000000110010

(2)

int 型

負の数

• 2の補数表現であらわす。

• 絶対値を決められたビット数で表す

• 0、1を反転する

• 1を加える

•13

0000000000110010

(2)

short int 型の例 (-50)

1111111111001101

(2)

1111111111001110

(2)

-50

(10)

1を加える

0、1を反転する

浮動小数点数

• 整数（正または負または０）あるいは小数付きの

数

• 0.5 ( = 0.5 × 100)

• 仮数(mantissa)部と指数(exponent)部

•14

仮数の整数の桁は1桁で0以外

10022.6 

仮数

指数

基数(radix)

10進数の0.1を2進数で表すと…

• 無限小数になる。

• 0.1(10)=

0.0001100110011001100110011001…(2)

1.100110011001100110011001…×2-4(2)

• 23ビットで表すために、小数第24桁目で0捨1入を

するので、誤差が生じる（丸め誤差）

•15

小数第24桁目

0 01111011 10011001100110011001100

= 9.9999994039535522×10

-2

0 01111011 10011001100110011001101

= 1.0000000149011612×10

-1

-9

程度の誤差

丸め誤差の集積（情報落ち）

• 丸め誤差が集まると，誤差が増える

•16

#include "stdio.h"

int main()

{

double x;

double s;

int ch;

x = 0.0001;

s = 10000;

for (int i = 0; i < 100000000; i++) {

s = s + x;

}

printf("1 に 0.0001を100000000回足すと%fになります。¥n", s);

ch = getchar();

}

出てくる値は 20000 にならない

浮動小数点でのループの終了判定

• ループの制御を浮動小数点型変数を用いて行う場

合は注意が必要。

• 変数 x を 0.001 きざみで0～1まで変化させて何かを処

理する場合（面積の近似計算など）

• 継続条件式を x <= 1 としても、1,000 回目のループが

実行されるかどうかは確認が必要。

• 0.001 を 1,000 回加えても丸め誤差の集積で1以外の数になっ

ている可能性がある。

• 1より小さい場合は処理が実行される。

• 1より大きい場合は処理が実行されない。

• ループ回数で制御することで回避する。

•17

仕様

• 2次方程式を ax

+bx+c=0 として、係数a、b、cを

入力してもらう。

• 2次方程式の解の公式に従って、浮動小数点数解が

あるとき、2つの解x1とx2を計算し、その値を出

力する。そのときの(ax2+bx+c)の値も表示する。

•18

acbb

−−−

−+−

プログラム

•19

double a, b, c, d, x1, x2;

printf("Please input a b c : ");

scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);

d = b * b - 4 * a * c; /* 判別式の計算 */

if(d >= 0){ /* 判別式が正のとき、解を計算 */

x1 = (-b + sqrt(d)) / (2.0 * a);

x2 = (-b - sqrt(d)) / (2.0 * a);

printf("x1 = %17.10e (%17.10e)¥n",x1,a*x1*x1+b*x1+c);

printf("x2 = %17.10e (%17.10e)¥n",x2,a*x2*x2+b*x2+c);

}

else{ /* 判別式が負のとき、虚数解と表示 */

printf("x1 = 虚数解¥n");

printf("x2 = 虚数解¥n");

}

プログラムのテスト

• 係数の値として下の値を入力した場合の結果を観

察すると、

• (1 –2 1)

• x1 = 1.0000000000e+000 (0.0000000000e+000)

• x2 = 1.0000000000e+000 (0.0000000000e+000)

• (1 –1000 1)

• x1 = 9.9999900000e+002 (1.1641532183e-010)

• x2 = 1.0000010000e-003 (-2.0621060415e-011)

• (1 –1000000 1)

• x1 = 1.0000000000e+006 (0.0000000000e+000)

• x2 = 1.0000076145e-006 (-7.6144923700e-006)

• (1 –100000000 1)

• x1 = 1.0000000000e+008 (1.0000000000e+000)

• x2 = 7.4505805969e-009 (2.5494194031e-001)

•20

x2の左辺

の値が0

から離れ

ていく

（誤差が

大きくな

る）

方程式の左辺の値

桁落ち

• 有効数字の桁数が減少すること

• 先の例の(1 –1000000 1)では…

• |b| → 0 412 e848000000000

• √D → 0 412 e847fffffbce4

• 差 → 0 412 000000000431c

0 3ec 0c70000000000

•21

正規化

有効な桁が12ビットになる

もし桁数が限られていなければ、後ろの0が続く40

ビットにも値が入るはず。

桁落ち

• 絶対値がごく近い2数を足したり引いたりして、結

果の絶対値が小さくなるような計算を行うと桁落

ちが起こる。

• 絶対値が小さくなった分だけ相対誤差が大きくな

り、有効数字が減る。

• 式の変形などで桁落ちを回避することができるこ

とがある。

•22

2次方程式の解で桁落ちを防ぐ

• |b|+√D の方だけを使って1つの解を求める。

• b≧0 の場合

• b＜0 の場合

• もう1つの解は、解と係数の関係から求める。

•23

acbb

−+

−=

acbb

−+



改良版プログラム

•24

double a, b, c, d, x1, x2;

printf("Please input a b c : ");

scanf("%lf %lf %lf", &a, &b, &c);

d = b * b - 4 * a * c; /* 判別式の計算 */

if(d >= 0){ /* 判別式が正のとき、解を計算 */

if(b >= 0) x1 = -(b + sqrt(d)) / (2.0 * a);

else x1 = (-b + sqrt(d)) / (2.0 * a);

x2 = c / (a * x1);

printf("x1 = %17.10e (%17.10e)¥n",x1,a*x1*x1+b*x1+c);

printf("x2 = %17.10e (%17.10e)¥n",x2,a*x2*x2+b*x2+c);

} else{ /* 判別式が負のとき、虚数解と表示 */

printf("x1 = 虚数解¥n");

printf("x2 = 虚数解¥n");

}

解と係数の関係より