内容
•例題１．自然数の和
•例題２．最大公約数の計算
•例題３．ベクトルの長さ
while 文
•例題４．九九の表
for 文と繰り返しの入れ子
•例題５．ド・モアブルの公式
計算誤差の累積
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目標
•繰り返し（while 文, for 文）を使って，繰り返し
計算を行えるようになること
•ループカウンタとして，整数の変数を使うこと
•見やすいプログラムを書くために，字下げを行う
3
繰り返しとは
•繰り返しとは，ある条件が満たされるまで，同じ
ことを繰り返すこと．
•繰り返しを行うための文としてwhile文, for 文な
どがある．
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条件
繰り返しの例
•ユークリッドの互助法
•m とn の最大公約数を求めるために，「割った余りを
求めること」を，余りが０になるまで繰り返す．
•九九の表
•九九の表を求めるために，掛け算を８１回繰り返す
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オンライン開発環境 Online GDB
•プログラミングを行えるオンラインのサービス
https://www.onlinegdb.com
•ウェブブラウザを使う
•たくさんの言語を扱うことができる
Pascal, Python3, Java, C/C++, C#, JavaScript,
R, アセンブリ言語，SQL など
•オンラインなので、「秘密にしたいプログラム」
を扱うには十分な注意が必要 6
Online GDB でPascal を動かす手順
① ウェブブラウザを起動する
② 次の URL を開く
https://www.onlinegdb.com
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③ 「Language」のところで，「Pascal」を選ぶ
8
エディタ画面
実行ボタン
プログラムを
書き換えること
ができる
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例題１．自然数の和
•整数データ（Ｎとする）を読み込んで，１からＮ
までの和を求めるプログラムを作る
•ここでは，練習のため，自然数の和の公式は使わ
ずに，while文を用いる
例） 100 → 5050
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program sum;
var N, i, s: integer;
begin
write('sum [1..N] Program. Please Enter N: ');
readln(N);
s := 0;
i := 1;
while i <= n do begin
s := s + i;
i := i + 1;
end;
writeln('sum[1..n] = ', s:8);
readln
end. 11
繰り返し実行される
部分
条件式
自然数の和
12
実行結果の例
プログラム実行順
13
s := 0;
i := 1;
i <= N
s := s + i;
i := i + 1;
Yes
No
繰り返し処理の中身
•繰り返しの前
i := 1 とS := 0 を実行
•繰り返しの各ステップでなされること
1. 「S」 に 「i」 を足しこむ
→「S」には，その時点での「１から i」までの和
が入る
2. 「i」 の値を１増やす
•繰り返しの終了条件
i <= N が成り立たなくなったら終了
→つまり i > N になったら終了
14
自然数の和
15
N = 7 とすると
i <= 7 が成立する s = 0 + 1
i <= 7 が成立する s = 1 + 2
i <= 7 が成立する s = 3 + 3
i <= 7 が成立する s = 6 + 4
i <= 7 が成立する s = 10 + 5
i <= 7 が成立する s = 15 + 6
i <= 7 が成立する s = 21 + 7
i <= 7 が成立しない
i = 2
i = 3
i = 4
i = 5
i = 6
i = 7
i = 8
繰り返し
１回目
繰り返し
２回目
繰り返し
３回目
繰り返し
４回目
繰り返し
５回目
繰り返し
６回目
繰り返し
７回目
繰り返し
８回目
s の値 i の値
はじめは s = 0 i = 1
while 文
•何かの処理の繰り返し
•繰り返しのたびにwhile 文で書かれた条件式の真
偽が判定され， 真である限り，while のあとに続
く文が実行され続ける．
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while 条件式 do begin
式1;
式2;
..．
end
条件式
式1
式2
...
Yes
No
例題２．最大公約数の計算
•２つの整数データを読み込んで，最大公約数を求
めるプログラムを作る．
•ユークリッドの互助法を用いること
•ユークリッドの互助法を行うために while 文を書く
例） 20, 12 のとき： 4
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ユークリッドの互助法
•最大公約数を求めるための手続き
•m,nの最大公約数は，
•m ≧n とすると，
•「m をn で割った余り」= 0 なら，最大公約数は n
•「m をn で割った余り」> 0 なら，m とn の最大公約
数は， 「m をn で割った余り」 と n の最大公約数に等
しい
（ なお，n ＞ 「m をn で割った余り」 が成り立つ）
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program sum;
var r, m, n: integer;
begin
write('GCD Program. Please Enter m: ');
readln(m);
write('Please Enter n: ');
readln(n);
r := m mod n;
while r > 0 do begin
m := n;
n := r;
r := m mod n;
end;
writeln('GCD = ', n:8);
readln
end. 19
条件が成り立つ限り，
実行されつづける部分
条件式
最大公約数の計算
20
実行結果の例
プログラム実行順
21
r := m % n;
r > 0
m := n;
n := r;
r := m mod n;
Yes
No
繰り返し処理の中身
•繰り返しの前
r := m mod n を実行（m をn で割った余りが r に入る）
•繰り返しの各ステップでなされること
m := n;
n := r;
r := m mod n;
を実行（m, n, r の値は小さくなっていく）
•繰り返しの終了条件
r が0 になったら終了
22
最大公約数の計算
23
m = 80, n = 35 とすると，
最初の「 r = m mod n; 」で， r = 10 になる
r > 0 が成立する m = 35 n = 10 r = 5
r > 0 が成立する m = 10 n = 5 r = 0
r > 0 が成立しない
繰り返し
１回目
繰り返し
２回目
繰り返し
３回目
m の値 n の値 r の値
80, 35 の最大公約数は
35, 10 の最大公約数に等しい
35, 10 の最大公約数は
10, 5 の最大公約数に等しい
例題３．総和と平均
•データ x1, x2, ... xk を１つづつ読み込んで，合計
と平均を求めるプログラムを作成す
•負の数が入力されたら終了する
整数のデータ 1, 2, 3 に対して
1
2
3
-1
24
入力
program sum;
var x, s: real;
var i: integer;
begin
s := 0;
i := 0;
write('Please Enter x[', i:3, ']: ');
readln(x);
while 0 <= x do begin
s := s + x;
i := i + 1;
write('Please Enter x[', i:3, ']: ');
readln(x);
end;
writeln('sum =', s:8:3);
writeln('average =', (s/i):8:3);
readln
end. 25
条件が成り立つ限り，
実行されつづける部分
条件式
総和と平均
26
実行結果の例
プログラム実行順
27
s := 0;
i := 0;
write('Please Enter x[', i:3, ']: ');
readln(x);
0 <= x
s := s + x;
i := i + 1;
write('Please Enter x[', i:3, ']: ');
readln(x);
Yes
No
繰り返し処理の中身
•繰り返しの前
S := 0 とi := 0 を実行
X0 を読み込む
•繰り返しの各ステップでなされること
1. 「S」 に 「Xi」 を足しこむ
→「S」には，その時点での「X0から Xi 」までの和
が入る
2. 「i」 の値を１増やす
3. Xi を読み込む
•繰り返しの終了条件
Xi < 0 ならば終了
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演習１．m から n までの和
•２つの整数データ（M, Nとする）を読み込んで，
MからNまでの和を求めるプログラムを作りなさい
•while 文を使いなさい．例題１のプログラムを参考にし
なさい
29
例題４．九九の表
•九九の表を表示するプログラムを作成する
•九九の表を表示するために，繰り返しの入れ子を使う
30
program sum;
uses SysUtils;
var i, j: integer;
begin
for i := 1 to 9 do begin
write( i:3, ':' );
for j := 1 to 9 do begin
write( (i*j):3 );
end;
writeln;
end;
readln
end.
31
繰り返し実行される部分
実行結果画面（例）
32
繰り返しの入れ子
33
九九の表
34
i := 1
i <= 9 Yes
No j := 1
j <= 9 Yes
九九の表を表示
j := j + 1;
No
i := i + 1;
for 文
35
for 変数名 := 初期値 to 終了値 do begin
式1;
式2;
...
end
例題５．ド・モアブルの定理
• θを読み込んで，次の値を計算するプログラムを作
る
•なお，iは虚数単位
•ここでは (sinθ+icosθ)n を求めるために，while文を用
いた繰り返し計算を行ってみる
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n
i
sincos
nin sincos
複素数の積
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2 のとき
z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2 )
= x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i y1iy2
= x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + y1x2 )
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実数部 虚数部
program sum;
var j, n: integer;
var x1, y1, x2, y2, theta: real;
begin
write('Please Enter n: ');
readln(n);
write('Please Enter theta: ');
readln(theta);
x1 := cos(theta);
y1 := sin(theta);
x2 := x1;
y2 := y1;
j := 1;
while j <= n do begin
writeln( '(cos theta + i sin theta)', j, '=', x1:8:3, '+ i ', y1:8:3 );
writeln( 'cos', j, 'theta + i sin', j, 'theta =', cos( j * theta ):8:3, sin( j * theta ):8:3 );
x1 := x1 * x2 - y1 * y2;
y1 := x1 * y2 + x2 * y1;
j := j + 1;
end;
readln
end. 38
繰り返し実行される
部分
条件式
実行結果画面（例）
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繰り返し処理の中身
•繰り返しの前
x1 := cos θ
y1 := sin θ
x2 := x1
y2 := y1
を実行
•繰り返しの各ステップでなされること
x1 := x1 * x2 - y1 * y2
y1 := x1 * y2 + x2 * y1;
を実行 （x1 が実数部，y1 が虚数部）
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(cosθ+ isinθ)n = cos nθ+ isin nθ
(cosθ+ isinθ)2 = cos2θ-sin2θ+ 2icosθsin θ
= cos2θ+ isin2θ
(cosθ+isinθ)3 = (cosθ+ isinθ)2 (cosθ+ isinθ)
= (cos2θ+isin2θ) (cosθ+isinθ)
= cos2θcosθ-sin2θsinθ
+ i(cos2θsinθ-sin2θcosθ)
= cos (2θ+θ) + isin (2θ+θ)
= cos3θ+ isin3θ
(以下同様に考える．数学的帰納法で証明できる）
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計算結果から分かること
•本来なら「 (cosθ+ isinθ)n = cos nθ+isin nθ 」が
成り立つはず
•しかし，コンピュータでの計算は，近似計算
•計算を繰り返す（つまり、計算結果を使った計算）
たびに，誤差が積み重なる
42
