Octaveによる数値計算とデータ処理の基礎

Octave のインストール手順（Windows上）

1. インストーラーの入手：公式サイト GNU Octave の"Windows Installers"セクションから，最新の安定版64bit版インストーラーをダウンロードする．
2. 管理者権限での実行：ダウンロードしたインストーラーを右クリックし，「管理者として実行」を選択する．セキュリティ警告が表示された場合は「実行」を選択する．
3. インストール言語：English（デフォルト）を選択し，「Next」をクリックする．現時点で日本語インターフェースには対応していない．
4. ライセンス同意：条項を確認し，「I accept the agreement」を選択して「Next」をクリックする．
5. インストール先の指定：デフォルトのパス（C:\Program Files\GNU Octave）を推奨する．重要：パスにスペースや日本語文字を含めないようにすること．
6. コンポーネントの選択：以下の項目すべてを選択する．
   • Full installation（完全インストール）
   • Create Desktop Icon（デスクトップアイコンの作成）
   • Associate .m files with GNU Octave（.mファイルの関連付け）
7. インストール実行：「Install」をクリックしてインストールを開始する．
8. 初期動作確認：インストール完了後，以下の手順で動作を確認する：
   1. デスクトップ上のOctaveアイコンをダブルクリック
   2. コマンドウィンドウが開き，プロンプト（octave:）が表示されることを確認
   3. version コマンドを実行してバージョンを確認
   4. 2 + 2 を実行し動作を確認
   5. plot([1,2,3]) を実行し，グラフ描画を確認する．

Octaveのデータ型

Octaveのデータ型は行列のみである． このページでは，行ベクトル，列ベクトル，スカラーという用語を次の意味で使用する．

• 行ベクトル： 1行m列の行列 (m>=1)
• 列ベクトル： n行1列の行列 (n>=1)
• スカラー： 1行1列の行列

Octaveでは，変数名の大文字と小文字を区別する必要がある． 本ページでは，行ベクトル，列ベクトル，スカラーを表す変数名には小文字を，一般の行列を表す変数名には大文字を使用している．

行ベクトル

行ベクトルのコンストラクタ

t = [2 1 3]

• 行ベクトルのコンストラクタ

  x = [1 2 3 4 5 6]
  

• 全要素が 0 の行ベクトル: zeros関数

  「zeros(1，m)」の形式で記述する．mは列数を表す．

  x = zeros(1，10)
  

• 全要素が 1 の行ベクトル: ones関数

  「ones(1，m)」の形式で記述する．mは列数を表す．

  x = ones(1，10)
  

• 全要素が同じ値 の行ベクトル: zeros関数

  「zeros(1，m) + x」の形式で記述する．mは列数を表す．

  x = zeros(1，10) + 5
  

• 0 から 1 の一様乱数を要素に持つ行ベクトル: rand関数

  「rand(1，m)」の形式で記述する．mは列数を表す．

  x = rand(1，10)
  

• 平均 0，分散 1 の正規分布の乱数を要素に持つ行ベクトル: randn関数

  「randn(1，m)」の形式で記述する．mは列数を表す．

  x = randn(1，10)
  

• 等差数列（初項，公差，末項を指定）

  初項，公差，末項を「:」で区切って指定する．

  x = [3:2:9]
  

  * 「x = 3:2:9」と記述しても同じ結果となる．

  また，初項と末項のみを「:」で区切る場合は，公差が1となる．

  x = [2:4]
  

  * 「x = 2:4」と記述しても同じ結果となる．

• 等差数列（初項，末項，項数を指定）: linspace関数

  初項，末項，項数を指定する．グラフ作成時に特に有用である．

  x = linspace(1，500，20)
  

• 対数グラフ用の数列: logspace関数

  対数グラフ上で等間隔となる数列を生成する．

  x = logspace(1，500，20)
  

• 空行列／空ベクトル []

要素の操作

• 参照（行ベクトル→スカラー）

  要素番号による参照を行う．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(1)
  

• 参照（行ベクトル→行ベクトル）

  要素番号が格納された行ベクトル（または列ベクトル）による参照を行う．

  x = [10 20 30 40 50 60]
  x([2 4 6])
  x(1:3)
  x(1:2:5)
  

• 要素の代入

  要素番号による値の代入を行う．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(2) = 20
  

  要素番号が格納された行ベクトル（または列ベクトル）による代入を行う．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x([3 4 5]) = [20 30 40]
  

• 行ベクトルの連結 「[]」内にベクトルを並べて記述する．

  x = [1 2 3]
  y = [4 5 6]
  [x y]
  

• 要素の削除

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x(2) = []
  y = [1 2 3 4 5 6]
  y([3 4 5]) = []
  

行ベクトルの演算

• 行ベクトルの要素のデータ型： class関数

  x = [1 2 3 4 5 6]
  class(x)
  

• サイズ： size関数

  x = [1 2 3 4 5 6]
  size(x)
  

• 転置（行ベクトル → 列ベクトル）

  「.'」演算子を使用した転置を行う．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x.'
  

• 複素共役転置（行ベクトル → 列ベクトル）

  「'」演算子を使用した転置は，複素共役転置となる．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x'
  

• 行ベクトルへのスカラー加算： +演算子（行ベクトル → 行ベクトル） *和，差，積，商，剰余などの要素単位の演算については，本ページ下部で詳述する．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x + 10
  

• 行ベクトルのスカラー倍： *演算子（行ベクトル → 行ベクトル）

  *要素単位の演算については，本ページ下部で詳述する．

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x * 3
  

• スカラーの行ベクトル要素による除算： ./演算子（行ベクトル → 行ベクトル）

  x = [1 2 3 4 5 6]
  3 ./ x
  

• 行ベクトルとスカラーの等値比較： ==演算子（行ベクトル → 行ベクトル）

  a = [1 2 3 2 2 5]
  a == 1
  

  
• ソート： sort関数（行ベクトル → 行ベクトル）

  sort関数は，デフォルトで昇順（increasing order）でソートを行う． ソート順を明示的に指定する場合は， 「sort(a，'ascend')」または「sort(a，'descend')」 のように記述する．

• 内積： *演算子（行ベクトル 列ベクトル → スカラー）

  x = [1 2 3]
  y = [4 5 6]
  x*y'
  

列ベクトル

t = [2; 1; 3]

行列

行列のコンストラクタ

1 3
2 4

M = [1 3; 2 4]

• 行列のコンストラクタ

  各行を「;」（セミコロン）で区切って記述する．

  A = [1 2 3; 4 5 6]
  

• 全要素が 0 の行列: zeros

  「zeros(n，m)」と記述する．ここで，n は行数，m は列数を表す．

  A = zeros(3，4)
  

• 全要素が 1 の行列: ones

  「ones(n，m)」と記述する．ここで，n は行数，m は列数を表す．

  A = ones(3，4)
  

• 全要素が同じ値の行列: zeros と + を利用

  「zeros(n，m) + x」と記述する．ここで，n は行数，m は列数，x は設定したい値を表す．

  A = zeros(3，4) + 5
  

• 単位行列: eye

  「eye(n)」と記述する．ここで，n は行数（および列数）を表す．単位行列は正方行列（行数と列数が等しい行列）である．

  A = eye(3)
  

• 対角行列

  diag関数を使用する．引数として指定したベクトルの要素が対角要素となる行列を生成する．

  A = diag([1 2 3 4])
  

• 0 から 1 の一様乱数を要素に持つ行列: rand

  「rand(N，M)」と記述する．ここで，N は行数，M は列数を表す．

  x = rand(3，4)
  

• 平均 0，分散 1 の正規分布の乱数を要素に持つ行列: randn

  「randn(N，M)」と記述する．ここで，N は行数，M は列数を表す．

  x = randn(3，4)
  

• ベクトルを行列に変換

  「reshape(v，n，m)」と記述する．ここで，v はベクトル，n は行数，m は列数を表す．

  
• メッシュグリッド meshgrid

  例えば，x座標値のベクトル [0 1 2 3] と y座標値のベクトル [1 2 3] からメッシュグリッドを生成する場合，次のように記述する．

  [XX，YY] = meshgrid([0 1 2 3]，[1 2 3])
  

  

  （例）meshgrid の使用例．mesh関数による3次元表示

  x = [0 1 2 3];
  y = [1 2 3];
  [XX，YY] = meshgrid(x，y);
  ZZ = XX.*YY;
  mesh(XX，YY，ZZ);
  close;
  

  

  

  （例）meshgrid の使用例．contour関数による等高線表示

  x = [0 1 2 3];
  y = [1 2 3];
  [XX，YY] = meshgrid(x，y);
  ZZ = XX.*YY;
  contour(XX，YY，ZZ);
  close;
  

  

  

• 空行列／空ベクトル []

行列の要素の操作

• 参照（行列→行列，行ベクトル，列ベクトル，スカラー）
  • 参照時は，行番号と列番号をカンマで区切って指定する．

    A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
    A(1，1)
    A(3，2)
    

    
  • 範囲指定には「:」（コロン）を使用する． 例えば，「2:4」は行ベクトル[2 3 4]を表す． 「:」単独では，全ての行または全ての列を意味する．

    A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
    A(1:2，2:4)
    A(1:2，2)
    A(1:2，:)
    

    
  • 行番号や列番号はベクトルでの指定も可能である．

    A(1:2，[2 4])
    

• 条件に合致する行の選択

  X = [1 102; 1 102; 2 101; 3 101; 3 103]
  X(:，1) == 3
  X( X(:，1) == 3，: )
  

  
• 要素の代入

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A(2，3) = 60
  A
  

• 行の追加

  同じ列数の列ベクトルまたは行列を連結する．以下の例では，A の後に「;」（セミコロン）を配置することに注意する．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  B = [A; [13 14 15 16]]
  C = [A; [13 14 15 16; 17 18 19 20]]
  

• 列の追加

  同じ行数の行ベクトルまたは行列を連結する． 以下の例のように，半角スペースで区切って連結したい行列や行ベクトルを並べる．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  B = [A [100; 101; 102]]
  C = [A [100 200; 101 201; 102 202]]
  

• 行列の連結

  行方向の連結には「;」（セミコロン）を使用する．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  D = [13 14 15 16; 17 18 19 20]
  [A; D]
  

  

  列方向の連結には半角スペースを使用する．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  E = [20 21; 22 23; 24 25]
  [A E]
  

  
• 行の削除

  空行列 [] を使用して削除を行う．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A([1 3]，:) = []
  A
  

• 列の削除

  空行列 [] を使用して削除を行う．

  A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]
  A(:，[1 3]) = []
  A
  

行列の演算

• 行列の要素のデータ型： class
  
• 次元の取得： ndims

  ベクトルの場合は1，行列の場合は2を返す値である．

• サイズ： size

  行列の縦と横のサイズはそれぞれ次のコマンドで取得できる：

  size(mat，1)
  size(mat，2)
  

• 転置　（行列 → 行列）

  「.'」演算子による単純転置を行う．

• 転置　（行列 → 行列）

  「'」演算子による複素共役転置を行う．次の例で示す：

  x = [1 2 3 4 5 6]
  x'
  

• 行列に同じ数を足す： + （行列 → 行列）

  * 要素単位の演算については，このWebページの後半で詳しく説明している．

  
  行列に同じ数を足す
• 行列の定数倍： * （行列 → 行列）

  * 要素単位の演算については，このWebページの後半で詳しく説明している．

• 行列と特定の値との比較： == （行列 →行列）

  X = [1 2 3; 2 3 2; 2 2 3]
  X == 2
  

  
• 行列とベクトルの積，あるいは行列と行列の積: *
  
  行列とベクトルの積
  
  行列と行列の積
• 除算（左除算; left division）： \

  A\y は，行列Aとベクトルyから連立方程式Ax = yの解xを求める演算である． 同様に，A\Yは，行列AとYから行列方程式A*X = Yの解行列Xを求める．

• 除算（右除算; right division）： /

  右除算は左除算を用いて実装されており，A/Y = (Y'\A')'と定義される． 具体的には，A/Yは行列AとYから行列方程式X*A = Yの解行列Xを求める．

• 逆行列： inv
  
  逆行列の例
• 固有値と固有ベクトル： eig

  行列の固有値（eigenvalue）と固有ベクトル（eigenvectors）を計算する関数である． 計算過程では，まずヘッセンベルグ分解（Hessenberg decomposition）関数hessを適用し， 続いてシューア分解（Schur decomposition）関数schurを使用する．

  • 固有値のみを計算する場合: LAMBDA = eig(A)
    
    固有値の例
  • 固有値と固有ベクトルを同時に計算する場合: [V，LAMBDA] = eig(A)

    固有ベクトルは行列Vの列ベクトルとして，固有値は行列LAMBDAの対角要素として得られる． これらは A * V = V * LAMBDA の関係を満たす．

    
    固有値と固有ベクトルの例
• 正方行列（square matrix）の行列式： det
  
  行列式の例
• 行列のトレース（trace）： trace

  対角要素の和sum(diag(X))を計算する関数である．

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  trace(X)
  

  
  
• 特異値分解（Singular Value Decomposition，SVD）: svd

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  [U，S，V] = svd(X)
  

  
• 正方行列（square matrix）のLU分解： lu

  LAPACK（Linear Algebra PACKage）の機能を利用してLU分解を実行する． 使用例は次の通りである：

  x=rand(2000，2000); [L，U，P]=lu(x);
  
  LU分解の例
• 正則行列のランク： rank

  非ゼロの特異値の個数を計算する．

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  rank(X)
  

  
• QR分解（QR factorization）: qr

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  [Q，R，P] = qr(X)
  

  
• 分散共分散行列: cov

  X = [11 12 13; 14 15 16; 19 18 17]
  cov(X)
  

  
• 2次元のコンボリューション: conv2

  X = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
  B = [1 2; 3 4]
  Z = conv2(X，B，'full')
  

  

スカラーに対する演算

Octaveでは，スカラーに対する演算を行列やベクトル（行ベクトルと列ベクトル）に適用できる． この場合，行列やベクトルの各要素に対して個別に演算が実行される． また，同じサイズの行列やベクトル同士であれば2項演算を適用できる．

四則演算

• 和： +
• 差： -
• 積： .* 行列やベクトルの各要素同士の積を計算する場合は.*演算子を使用する．
• 商： ./ 行列やベクトルの各要素同士の商を計算する場合は./演算子を使用する．
  t = [0.01:0.01:40.96] plot( sin(t) ./ t );
  
• 剰余： mod

数学関数

• べき乗： ^
• 平方根： sqrt
• 絶対値： abs
• 偏角： angle
• 複素数の実部 (real part)： real
• 複素数の虚部 (imaginary part)： imag
• 複素共役： conj
• 符号： sign
• 四捨五入： round
• 小数点以下切り捨て： fix
• 床関数： floor
• 天井関数： ceil
• 指数関数（eのべき乗）： exp
• 自然対数： log
• 2を底とする対数： log2
• 10を底とする対数： log10
• サイン関数： sin
• コサイン関数： cos
• タンジェント関数： tan
• 逆サイン関数： asin
• 逆コサイン関数： acos
• 逆タンジェント関数： atan
• 2引数逆タンジェント関数： atan2

  atan2(Y，X)は，(Y/X)の逆タンジェントを計算する．座標平面上の点(X,Y)の偏角を求める際に使用する．

• ベッセル関数： bessel
• ガンマ関数： gamma

論理演算

論理演算では，0を偽(FALSE)，0以外の値を真(TRUE)として扱う． 比較演算の結果は，真の場合は1，偽の場合は0となる．

• 論理積（AND）： &
• 論理和（OR）： |
• 否定（NOT）：~

比較演算

行列やベクトルに対する比較演算は，各要素に対して個別に実行される． 比較結果は，真の場合は1，偽の場合は0となる．

• より小さい： <
• 以下： <=
• より大きい： >
• 以上： >=
• 等しい： ==
• 等しくない： ~=

x = [1 2 3 4 5 6]
max(x)
min(x)
mean(x)
sum(x)
length(x)

pkg install -forge io
pkg load io