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濃淡画像のフーリエ変換と低域/高域通過フィルタ


前準備

Octave のインストールが済んでいること. Octave の窓関数については http://octave.sourceforge.net/doc/funref_signal.html


説明

この Web ページでは「画素値」,「濃淡画像」という言葉を次の意味で使う.

この Web ページでは,次の Octave の関数を使います

この Web ページのプログラムでは,変数を次の意味で使う.


カラー画像ファイルの読み込み,濃淡画像の表示とのファイル書き出し

カラー画像ファイルは imread 関数で読み込む.rgb2gray 関数を使い濃淡値に変換する.この時点では 0 から 255 の値をとる.256 で割り A に格納する. ここでは,ファイル名 t:/lena_std.jpg を指定してファイルを読み込みます.

※ ここでは JPEG ファイルを使っていますが,たいていの種類の画像ファイルを扱うことができる.

pkg load image;

# カラー画像ファイルの読み込みと濃淡画像への変換
[rgb, immap, alpha] = imread("/tmp/lena_std.jpg");
A = double(rgb2gray(rgb))/255;

# 濃淡画像の表示
colormap(gray(256));
imshow(A);

# 濃淡画像のファイル書き出し
imwrite(A, "A.png");

実行結果の例

[image]

濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差の取得

function [ma, mi, me, st] = grayimage_stat (image)
  # 濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差の取得
  d = reshape( double(image), 1, size(image)(1)*size(image)(2) );
  ma = max(d);
  mi = min(d);
  me = mean(d);
  st = std(d);
endfunction

function disp_grayimage_stat (image, s)
  # 濃淡画像の最大値,最小値,平均値,標準偏差を表示
  # 「濃淡画像」は 0 = 黒,1 = 白である場合,そのまま表示すると分かりづらい.
  # それぞれの値を s 倍する
  [maxImage, minImage, meanImage, stdImage] = grayimage_stat(image);
  disp "max"
  maxImage * s
  disp "min"
  minImage * s
  disp "mean"
  meanImage * s
  disp "std"
  stdImage * s
endfunction

# 濃淡画像 A がセット済みであること
disp_grayimage_stat(A, 255);

実行結果の例

[image]

フーリエ変換

function logM = log_mat(M)
  # まず,対数を使ったマッピング.
  # 例えば M が 0.001 から 100 の範囲にあるとき,
  # M の値を log(0.001) - log(0.001) / log(100) - log(0.001) から
  # log(100) - log(0.001) / log(100) - log(0.001) にマッピングする.
  # つまり 0 から 1 の範囲になるようにマッピングする.
  MI = min(min(M));
  MA = max(max(M));
  if ( MI < 0.000000001 )
    # too small
    MI = 0.000000001;
  end
  #
  logM = ( log(M) - log(MI) ) / (log(MA) - log(MI));
endfunction


# 濃淡画像 A がセット済みであること
AA = fftshift( fft2( A ) );
imshow(log_mat(abs(real(AA))));
imshow(log_mat(abs(imag(AA))));
imwrite( log_mat(abs(real(AA))), "AAreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(AA))), "AAimag.png");

実行結果の例

実部の画像

[image]

虚部の画像

[image]

低域/高域通過フィルタのための窓関数

ここでは窓関数を 2次元の行列に格納し,FFT 結果を組み合わせることができるようにします.

function f = get_blackman(N, totallen)
  # blackman 関数を用いて Blackman 窓関数のフィルタ係数を得る

  # 最初に長さ totallen のベクトルを作る(大きめに作るということ)
  f = zeros(1,totallen);
  # 先頭 ceil(N/2) 個だけ値を埋める
  a = blackman(N * 2);
  f([1:N]) = a([N:-1:1]);
endfunction

function F2D = imagefilter(f, xsize, ysize)
  # f はフィルタを表現したベクトル.
  # f(1) は直流成分.f(2), f(3),... と続くにつれ、周波数が上がる
  # これを 2 次元に広げる
  # xsize = 512, ysize = 512 のとき F2D(257,257) に直流成分がくる
  # ずれているように見えるだろうが、これが fftshift の流儀
  [X,Y] = meshgrid( 1:xsize, 1:ysize );
  XX = abs(X - (xsize/2) - 1);
  YY = abs(Y - (ysize/2) - 1);
  F2D = f( max(XX,YY) + 1 );
end

fu = get_blackman(5,20)
plot(fu);

F2D = imagefilter( get_blackman(5,20), 16, 16 );
surfl(F2D);

[image]

[image]

[image]

画像の低域/高域通過フィルタ

function Image = apply_grayimage_filter(CC, f)
  # 画像フィルタを得る.
  # f はフィルタ係数を格納したベクトル.
  # f(1) は直流成分.f(2), f(3),... と続くにつれ、周波数が上がる
  # CC は濃淡画像に2次元の FFT を行った結果(複素数の行列)
  # ifft2 は 2 次元の逆 FFT
  Image = real( ifft2( fftshift( CC .* imagefilter( f, size(CC)(1), size(CC)(2) ) ) ) );
endfunction

# AA には,濃淡画像に2次元の FFT を行った結果(複素数の行列)が格納済みであること
# 低域通過フィルタ
U = apply_grayimage_filter(AA, get_blackman(50,2000));
# 高域通過フィルタ
V = apply_grayimage_filter(AA, (1 - get_blackman(50,2000)));
# 濃淡画像の表示とファイル書き出し
# U, V の値の範囲が 0,1 をはみ出すかもしれないので調整
disp_grayimage_stat (U, 255)
disp_grayimage_stat (V, 255)
imshow(min(max(0,U),1));
imwrite(min(max(0,U),1), "U.png");
# キーが押されるのを待つ
disp "please press key"
pause;
imshow(min(max(0,V),1));
imwrite(min(max(0,V),1), "V.png");
# キーが押されるのを待つ
disp "please press key"
pause;
# 再度,2 次元の逆 FFT を実行(バグがないか,2 次元の逆 FFT の結果をみて確認したい)
UU = fftshift( fft2( U ) );
VV = fftshift( fft2( V ) );
imwrite( log_mat(abs(real(UU))), "UUreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(UU))), "UUimag.png");
imwrite( log_mat(abs(real(VV))), "VVreal.png");
imwrite( log_mat(abs(imag(VV))), "VVimag.png");

[image]

低域通過画像

[image]

低域通過画像の 2次元 FFT 結果の実部

[image]

低域通過画像の 2次元 FFT 結果の虚部

[image]

高域通過画像

[image]

高域通過画像の 2次元 FFT 結果の実部

[image]

高域通過画像の 2次元 FFT 結果の虚部

[image]
disp "sum(sum(abs( AA )))"
sum(sum(abs( AA )))
disp "sum(sum(abs( UU )))"
sum(sum(abs( UU )))
disp "sum(sum(abs( VV )))"
sum(sum(abs( VV )))

surfl( log(abs( AA )) );
surfl( log(abs( UU )) );
surfl( log(abs( VV )) );

[image]

ヒストグラム平坦化の例

# histogram euqalization
Ahisteq = histeq( A );
Uhisteq = histeq( U );
Vhisteq = histeq( V );

imwrite(Ahisteq, "Ahisteq.png", 256)
imwrite(Uhisteq, "Uhisteq.png", 256)
imwrite(Vhisteq, "Vhisteq.png", 256)

disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Ahisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Ahisteq) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uhisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uhisteq) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vhisteq) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vhisteq) ) ))))

[image]

元画像にヒストグラム平坦化を行った結果

[image]

低域通過画像にヒストグラム平坦化を行った結果

[image]

高域通過画像にヒストグラム平坦化を行った結果

[image]

平均と標準偏差の正規化

[maxA, minA, meanA, stdA] = grayimage_stat(A);
[maxU, minU, meanU, stdU] = grayimage_stat(U);
[maxV, minV, meanV, stdV] = grayimage_stat(V);

Auni = max(0, A / stdA * 0.2 + 0.5 - (meanA / stdA) * 0.2);
Uuni = max(0, U / stdU * 0.2 + 0.5 - (meanU / stdU) * 0.2);
Vuni = max(0, V / stdV * 0.2 + 0.5 - (meanV / stdV) * 0.2);

imwrite(Auni, "Auni.png", 256)
imwrite(Uuni, "Uuni.png", 256)
imwrite(Vuni, "Vuni.png", 256)

disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Auni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Auni) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uuni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Uuni) ) ))))
disp "sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vuni) ) ))))"
sum(sum(abs(fftshift( fft2( double(Vuni) ) ))))

[image]

元画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果

[image]

低域通過画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果

[image]

高域通過画像に平均と標準偏差の正規化を行った結果

[image]

# band pass

w1 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w1(n,m) = w1(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 250 )
    w1(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w2 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w2(n,m) = w2(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 210 )
    w2(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w3 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w3(n,m) = w3(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 170 )
    w3(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w4 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w4(n,m) = w4(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 130 )
    w4(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

w5 = fftshift( fft2( double(mono)  / 255 ) ) ;
for n = 1:512
  for m = 1:512
  x = abs(n-257);
  y = abs(m-257);
  # high pass
  w5(n,m) = w5(n,m) * ( 1 - F( max(x,y) + 1 ) );
  # lowpass
  if ( max(x,y) > 90 )
    w5(n,m) = 0;
  end;
  end;
end;

ww1 = histeq( real(ifft2( fftshift(w1) )), 256);
ww2 = histeq( real(ifft2( fftshift(w2) )), 256);
ww3 = histeq( real(ifft2( fftshift(w3) )), 256);
ww4 = histeq( real(ifft2( fftshift(w4) )), 256);
ww5 = histeq( real(ifft2( fftshift(w5) )), 256);

imwrite(ww1, "ww1.png")
imwrite(ww2, "ww2.png")
imwrite(ww3, "ww3.png")
imwrite(ww4, "ww4.png")
imwrite(ww5, "ww5.png")

# FFT again
ww1fft = fftshift( fft2( double(ww1) ) );
ww2fft = fftshift( fft2( double(ww2) ) );
ww3fft = fftshift( fft2( double(ww3) ) );
ww4fft = fftshift( fft2( double(ww4) ) );
ww5fft = fftshift( fft2( double(ww5) ) );

disp "sum(sum(abs(ww1fft)))"
sum(sum(abs(ww1fft)))
disp "sum(sum(abs(ww2fft)))"
sum(sum(abs(ww2fft)))
disp "sum(sum(abs(ww3fft)))"
sum(sum(abs(ww3fft)))
disp "sum(sum(abs(ww4fft)))"
sum(sum(abs(ww4fft)))
disp "sum(sum(abs(ww5fft)))"
sum(sum(abs(ww5fft)))

位相画像

フーリエ変換の後、振幅を1に正規化。その後、逆フーリエ変換

プログラム例

pkg load image;

[rgb, immap, alpha] = imread("fruits.jpg");
mono = rgb2gray( rgb );

colormap(gray(256));
imshow(mono);

mono2 = real( ifft2( fft2(mono) ./ abs( fft2(mono) ) ) );
imshow( 255.0 * mono2 / max(max(mono2)) ); 

mono3 = imsmooth(mono, "Gaussian", sigma=6);
imshow(mono3); 

mono4 = real( ifft2( fft2(mono3) ./ abs( fft2(mono3) ) ) );
imshow( 255.0 * mono4 / max(max(mono4)) );