社会ネットワーク分析（SNA: Social Network Analysis）

pip install -U --no-user networkx matplotlib scipy

1. 他の分析手法との比較

従来の統計手法の多くは、個体の属性（年齢、性別、収入など）に着目し、サンプルの独立性を仮定する。これに対して SNA は、個体間のつながりの有無とつながり方そのものを分析対象とし、ネットワーク構造を明示的にモデル化して定量化する。

2. 原理

2.1 基本構造：グラフ表現

ネットワークはグラフ G = (V, E) で表現する。V はノードの集合、E はエッジの集合である。

無向グラフはエッジに方向性がなく、友人関係のような双方向の関係を表す。有向グラフはエッジに方向性があり、引用関係や影響関係を表す。本記事では有向グラフを扱う。

エッジには重みを付与できる。重みは関係の強さや頻度を表し、例えば引用回数や影響の強さを重みとする。本記事では、重みを正の重要度として定義する。後出の指標のうち最短経路を用いるものでは、NetworkX の引数で指定する値は距離として扱われる。重みが大きいほど二者を近いと捉えるため、重みの逆数を距離として用いる。

2.2 主要な分析指標

以下の指標でネットワーク構造を評価する。指標によって重みの扱いが異なる。本記事のコードでは、媒介中心性と近接中心性は distance 属性（重みの逆数）を用いる。PageRank は weight 属性（引用の重要度）をそのまま用いる。密度と次数中心性は重みを考慮しない。

ネットワーク全体の指標

密度（Density）は、実際のエッジ数を最大エッジ数で割った値である。自己ループを含まない有向グラフでは A→B と B→A を別のエッジとして数える。最大エッジ数は N × (N-1)、密度は D = E / (N × (N-1)) である（N はノード数、E はエッジ数）。密度は重みを考慮しない。

ノードレベルの指標（中心性指標）

次数中心性（Degree Centrality）は、ノードに接続するエッジの数を基にした指標である。有向グラフでは入次数と出次数を区別する。値は接続ノード数を最大可能数（N-1）で割って正規化される（例：6 ノードのネットワークで 4 つのノードから引用されていれば 4 / 5 = 0.800）。次数中心性は重みを考慮しない。

入次数中心性（In-degree Centrality）は、そのノードに入るエッジの数を基にした指標である。被参照数やフォロワー数に相当し、受信者としての重要性を示す。

出次数中心性（Out-degree Centrality）は、そのノードから出るエッジの数を基にした指標である。参照数やフォロー数に相当し、発信者としての活発さを示す。

媒介中心性（Betweenness Centrality）は、他のノード間の最短経路上にそのノードが含まれる頻度である。仲介者としての重要性を示す。重み付きエッジの場合、重みの逆数を距離として計算する。本記事のコードでは NetworkX の既定どおり正規化された値を用いる。有向グラフでは、始点と終点を区別したノード対に基づき (N-1)(N-2) で割って正規化される。出ていくエッジを持たない終端ノードは、どの最短経路の通過点にもならないため値が 0 になる。

近接中心性（Closeness Centrality）は、他のノードからそのノードへの最短距離の合計が小さいほど大きくなる指標である。重み付きエッジの場合、重みの逆数を距離として計算する。NetworkX の closeness_centrality は、到達可能なノードだけで距離を計算し、既定値 wf_improved=True により、ネットワーク全体に対する到達可能割合を掛ける。到達可能ノード数を r（自分自身を含む）、全ノード数を N、距離合計を S とすると、S が正のとき C = ((r - 1) / S) × ((r - 1) / (N - 1)) で計算される。重みの逆数を距離に使うと距離が 1 未満になることがあり、その場合は近接中心性が 1 を超えることがある。

近接中心性には方向の違いがある。NetworkX の closeness_centrality は、有向グラフに対して既定で入方向（inward）、すなわち他のノードから対象ノードへ到達する距離を計算する。出方向で評価する場合は G.reverse() を適用する。本記事では既定の入方向で計算する。引用ネットワークでは A→B が「A が B を引用する」を意味するため、入方向の近接中心性が高いノードは、多くの論文から短い距離で引用される被引用の中心と解釈できる。入ってくるエッジが一つもないノードは、他のノードから到達されないため値は 0 になる。

PageRank は、重要なノードからリンクされているノードほど値が高くなる指標である。入次数だけでなくリンク元の重要性も考慮する。重み付きエッジの場合、重みに応じてスコア配分が変わる。本記事のコードでは減衰係数 alpha=0.85 を用いる。出ていくエッジを持たないノードは、NetworkX の既定の扱いにより、全ノードへ均等にスコアを配分するものとして計算される。

2.3 重みがない場合

エッジに重みを設定しない場合、すべてのエッジの重みを 1 として扱う。この場合、媒介中心性と近接中心性はホップ数（経由するエッジの本数）で経路長を計算し、PageRank はすべてのエッジを同等に扱う。次章の演習では、正の重みを持つサンプルを用いて各指標を計算する。

3. 演習1．引用ネットワークの中心性分析

テーマ

論文の引用ネットワークを有向・重み付きグラフとして構築し、各中心性指標を計算して、指標ごとに値の高いノードがどう変わるかを確認する。論文 A が論文 B を引用する場合、A→B のエッジを作成する。重みは引用の重要度を表し、値が大きいほど重要な引用である。

サンプルネットワーク（引用関係）:
    A → B → D
    ↓ ↘ ↓
    C → E ← F

エッジと重み:
A → B (重み: 3)
A → C (重み: 1)
A → E (重み: 2)
B → D (重み: 2)
B → E (重み: 1)
C → E (重み: 3)
F → E (重み: 2)

手順

コマンドプロンプトまたは PowerShell で pip install -U --no-user networkx matplotlib scipy を実行し、ライブラリを導入する。次のコードを実行（メモ帳を用いる場合は a.py のようなファイル名で保存して実行）する。実行すると、各中心性指標について全ノードの値と最も値の高いノードが表示され、続いてネットワーク図が表示される。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 有向グラフの構築
G = nx.DiGraph()

# エッジの第3要素は引用の重要度を表す重みである
edges = [
    ('A', 'B', 3), ('A', 'C', 1), ('A', 'E', 2),
    ('B', 'D', 2), ('B', 'E', 1),
    ('C', 'E', 3),
    ('F', 'E', 2)
]

# weight は引用の重要度、distance は最短経路計算用の距離である。
# 重要度が大きいほど近い関係とするため、distance = 1 / weight とする。
for source, target, importance in edges:
    G.add_edge(source, target, weight=importance, distance=1 / importance)

# 表示順を固定する
nodes = sorted(G.nodes(), key=str)

# 入次数中心性と出次数中心性（重みは考慮されない）
in_degree_cent = nx.in_degree_centrality(G)
out_degree_cent = nx.out_degree_centrality(G)

# 媒介中心性
# NetworkX の betweenness_centrality の引数 weight には、
# 距離として使うエッジ属性名を指定する。
betweenness_cent = nx.betweenness_centrality(G, weight='distance')

# 近接中心性
# 有向グラフでは既定で入方向の距離を計算する。
# distance には、距離として使うエッジ属性名を指定する。
closeness_cent = nx.closeness_centrality(G, distance='distance')

# PageRank（重みを考慮）
# weight には、引用の重要度として使うエッジ属性名を指定する。
pagerank = nx.pagerank(G, alpha=0.85, weight='weight', max_iter=1000)

# 結果の表示（各指標について全ノードの値と、最も値の高いノードを表示）
metrics = {
    "入次数中心性": in_degree_cent,
    "出次数中心性": out_degree_cent,
    "媒介中心性（重み付き）": betweenness_cent,
    "近接中心性（重み付き・入方向）": closeness_cent,
    "PageRank（重み付き）": pagerank,
}

for name, cent in metrics.items():
    top = max(nodes, key=lambda node: cent[node])
    print(f"\n=== {name} ===")
    for node in nodes:
        print(f"  {node}: {cent[node]:.3f}")
    print(f"  最も値の高いノード: {top}（{cent[top]:.3f}）")

# ネットワーク全体の指標
print("\n=== ネットワーク全体の指標 ===")
print(f"  ノード数: {G.number_of_nodes()}")
print(f"  エッジ数: {G.number_of_edges()}")
print(f"  密度: {nx.density(G):.3f}")

# ネットワークの可視化
pos = nx.spring_layout(G, seed=42, weight='weight')
edge_labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')

plt.figure(figsize=(6, 4))
nx.draw(
    G,
    pos,
    with_labels=True,
    node_color='lightgreen',
    node_size=700,
    font_size=14,
    arrows=True
)
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.axis('off')
plt.show()

実行結果は次のとおりである。

=== 入次数中心性 ===
  A: 0.000
  B: 0.200
  C: 0.200
  D: 0.200
  E: 0.800
  F: 0.000
  最も値の高いノード: E（0.800）

=== 出次数中心性 ===
  A: 0.600
  B: 0.400
  C: 0.200
  D: 0.000
  E: 0.000
  F: 0.200
  最も値の高いノード: A（0.600）

=== 媒介中心性（重み付き） ===
  A: 0.000
  B: 0.050
  C: 0.000
  D: 0.000
  E: 0.000
  F: 0.000
  最も値の高いノード: B（0.050）

=== 近接中心性（重み付き・入方向） ===
  A: 0.000
  B: 0.600
  C: 0.200
  D: 0.600
  E: 1.371
  F: 0.000
  最も値の高いノード: E（1.371）

=== PageRank（重み付き） ===
  A: 0.101
  B: 0.144
  C: 0.116
  D: 0.183
  E: 0.355
  F: 0.101
  最も値の高いノード: E（0.355）

=== ネットワーク全体の指標 ===
  ノード数: 6
  エッジ数: 7
  密度: 0.233

ヒント

入次数中心性は接続ノード数を N-1（ここでは 5）で割った値である（例：E は 4 / 5 = 0.800）。出次数中心性も同様に、外向きの接続ノード数を N-1 で割った値である（例：A は 3 / 5 = 0.600）。

媒介中心性は、最短経路の通過点になった割合を表す。本サンプルで通過点が生じるのは、A から D への最短経路 A→B→D の B のみである。A から E へは直接エッジの距離が 1 / 2 = 0.5 であり、A→B→E（1 / 3 + 1 ≈ 1.333）や A→C→E（1 + 1 / 3 ≈ 1.333）より短いため、B や C は通過点にならない。有向グラフの正規化では N=6 のとき (N-1)(N-2)=20 で割るため、B の値は 1 / 20 = 0.050 になる。

近接中心性が 1 を超えるのは、重みの逆数を距離に使うためである。E については、A から E への距離が 0.5、B から E への距離が 1、C から E への距離が約 0.333、F から E への距離が 0.5 であり、距離合計は約 2.333 である。到達可能ノード数は自分自身を含めて 5、全ノード数は 6 であるため、(4 / 2.333) × (4 / 5) ≈ 1.371 になる。A と F は入ってくるエッジを持たないため 0 である。

考察ポイント

入次数中心性と出次数中心性を比較し、E は受信側（被引用）で最大、A は発信側（引用）で最大であることを読み取る。媒介中心性では B のみが値を持つ。一方、E は引用を多く受けるが出ていくエッジを持たない終端ノードのため、媒介中心性は 0 となる。近接中心性（入方向）と PageRank では E が最大であり、被引用の中心であることが確認できる。指標によって値の高いノードが E と B に分かれる点に着目し、各指標がネットワーク内のどの役割を測っているかを読み取る。

4. まとめ

SNA は個体間の関係を分析する手法である。中心性指標を用いて、ネットワーク内のアクターの位置づけや全体構造を評価する。方向性のある関係には有向グラフを用い、入次数中心性・出次数中心性・PageRank で発信と受信の重要性を分析する。エッジに重みを設定すれば、関係の強さを考慮した分析ができる。ただし、最短経路を用いる媒介中心性と近接中心性では、重要度としての重みをそのまま距離にせず、重みの逆数を距離として用いる。各指標が測る役割は異なるため、複数の指標を併用してアクターを多面的に評価する。