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データの並び x, y を3本の線分で近似

【概要】

データの並び x, y を3本の線分で近似するプログラムを扱う。この手法は区分線形関数（piecewise linear function。データの区間ごとに別々の1次関数で表す関数）のフィッティングと呼ばれ，データ点列を3つの区間に分割し，各区間で1次関数による最小二乗近似を行い，残差の総和が最小となる分割位置を探索する。

プログラムは Python で実装する。NumPy の多項式近似と総当たり探索により，最適な2つの端点（区間の境界）を決定する。各線分の傾きと切片，端点座標をコンソールに表示し，散布図上に3本の近似線分を描画する。さらに，残差の分布をヒートマップとして可視化する。

keyphrase: Fitting a piecewise linear function

【目次】

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1. 前準備

Python 3.12 のインストール

Pythonのインストールを行い、Pythonのプログラムを実行する環境を整える。扱う環境は、Windows搭載パソコンである。金子研究室では、Python 3.12.10を推奨する。

[Windows での Python 3.12 のインストール手順を見るには、ここをクリック]

Windows での Python 3.12 のインストール

以下のいずれかの方法でPython 3.12をインストールする。Pythonがインストール済みの場合、この手順は不要である。

方法 1：winget によるインストール

【インストールコマンドの実行方法】

管理者権限でコマンドプロンプトを起動する（手順：Windowsキーまたはスタートメニュー → cmd と入力 → 右クリック → 「管理者として実行」）。そして、コマンド全体をコマンドプロンプトにコピー＆ペーストする。

--scope machine を指定することで、システム全体（全ユーザー向け）にインストールされる。このオプションの実行には管理者権限が必要である。インストール完了後、コマンドプロンプトを再起動するとPATHが反映される。

REM Python 3.12 をシステム領域にインストール
winget install --id Python.Python.3.12 -e --scope machine --silent --accept-source-agreements --accept-package-agreements --override "/quiet InstallAllUsers=1 PrependPath=1 Include_test=0 Include_pip=1 Include_launcher=1 InstallLauncherAllUsers=1 TargetDir=\"C:\Program Files\Python312\""

REM Python と Scripts を PATH 先頭に追加
powershell -NoProfile -Command "$p='C:\Program Files\Python312'; $s=\"$p\Scripts\"; $c=[Environment]::GetEnvironmentVariable('Path','Machine'); if((Test-Path $p) -and (';'+$c+';' -notlike \"*;$p;*\") -and (';'+$c+';' -notlike \"*;$s;*\")){[Environment]::SetEnvironmentVariable('Path',\"$p;$s;$c\",'Machine')}"

方法 2：インストーラーによるインストール

  1. Python公式サイト（https://www.python.org/downloads/）にアクセスし、「Download Python 3.x.x」ボタンからWindows用インストーラーをダウンロードする。
  2. ダウンロードしたインストーラーを実行する。
  3. 初期画面の下部に表示される「Add python.exe to PATH」にチェックを入れてから「Customize installation」を選択する。このチェックを入れ忘れると、コマンドプロンプトから python コマンドを実行できない。
  4. 「Install Python 3.xx for all users」にチェックを入れ、「Install」をクリックする。

インストールの確認

コマンドプロンプトで以下を実行する。

python --version

バージョン番号（例：Python 3.12.x）が表示されればインストール成功である。「'python' は、内部コマンドまたは外部コマンドとして認識されていません。」と表示される場合は、インストールが正常に完了していない。

Python の開発環境 Visual Studio Code のインストールと Python 用の設定

Python の開発環境Visual Studio Code（プログラムを編集するソフトウェア。以下、VS Code）を整える。

[Windows での Visual Studio Code のインストールと Python 用の設定手順を見るには、ここをクリック]

Windows での Visual Studio Code のインストールと Python 用の設定手順

1. VS Code と拡張機能のインストール

以下のコマンドにより，既存の VS Code を削除し，全ユーザー共有の設定で再インストールしたうえで，拡張機能（VS Code に機能を追加するソフトウェア）をまとめて導入する．

【インストールコマンドの実行方法】

管理者権限でコマンドプロンプトを起動する（手順：Windows キーまたはスタートメニュー → cmd と入力 → 右クリック → 「管理者として実行」）。そして，コマンド全体をコマンドプロンプトにコピー＆ペーストする。

インストールコマンド


REM ============================================================
REM Microsoft Visual Studio Code
REM ============================================================
winget uninstall -e --id Microsoft.VisualStudioCode --silent --disable-interactivity --accept-source-agreements
rmdir /s /q C:\ProgramData\vscode-extensions 2>nul
rmdir /s /q "%APPDATA%\Code" 2>nul
rmdir /s /q "%USERPROFILE%\.vscode" 2>nul
rmdir /s /q "%LOCALAPPDATA%\Microsoft\vscode-update" 2>nul

REM VS Code をシステム領域に新規インストール
winget install --scope machine --id Microsoft.VisualStudioCode -e --silent --accept-source-agreements --accept-package-agreements

REM 全ユーザー共有の拡張機能フォルダ
mkdir C:\ProgramData\vscode-extensions 2>nul
icacls "C:\ProgramData\vscode-extensions" /grant "Everyone:(OI)(CI)M" /T

REM スタートメニューのショートカットを --extensions-dir 付きで再作成
rmdir /s /q "C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\Visual Studio Code" 2>nul
del "C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\Visual Studio Code.lnk" 2>nul
powershell -NoProfile -Command "$s=New-Object -ComObject WScript.Shell; $lnk=$s.CreateShortcut('C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\Visual Studio Code.lnk'); $lnk.TargetPath='C:\Program Files\Microsoft VS Code\Code.exe'; $lnk.Arguments='--extensions-dir \"C:\ProgramData\vscode-extensions\"'; $lnk.Save()"
REM ショートカットの検証
powershell -NoProfile -Command "$s=New-Object -ComObject WScript.Shell; $lnk=$s.CreateShortcut('C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\Visual Studio Code.lnk'); Write-Host 'TargetPath:' $lnk.TargetPath; Write-Host 'Arguments:' $lnk.Arguments"

REM ファイル / フォルダ右クリックの「Code で開く」を登録
reg add "HKLM\SOFTWARE\Classes\*\shell\VSCode\command" /ve /d "\"C:\Program Files\Microsoft VS Code\Code.exe\" --extensions-dir \"C:\ProgramData\vscode-extensions\" \"%1\"" /f
reg add "HKLM\SOFTWARE\Classes\Directory\shell\VSCode\command" /ve /d "\"C:\Program Files\Microsoft VS Code\Code.exe\" --extensions-dir \"C:\ProgramData\vscode-extensions\" \"%1\"" /f
reg add "HKLM\SOFTWARE\Classes\Directory\Background\shell\VSCode\command" /ve /d "\"C:\Program Files\Microsoft VS Code\Code.exe\" --extensions-dir \"C:\ProgramData\vscode-extensions\" \"%V\"" /f

REM --extensions-dir 付きで起動する code.cmd ラッパを作成
REM （%* を echo で書くと対話的 cmd で失われるため、PowerShell で [char]37+'*' を書き出す）
powershell -NoProfile -Command "$pct=[char]37; $q=[char]34; $c='@echo off'+[char]13+[char]10+$q+'C:\Program Files\Microsoft VS Code\bin\code.cmd'+$q+' --extensions-dir '+$q+'C:\ProgramData\vscode-extensions'+$q+' '+$pct+'*'+[char]13+[char]10; [IO.File]::WriteAllText('C:\ProgramData\vscode-extensions\vscode.cmd',$c,[Text.Encoding]::ASCII)"

REM 拡張機能のインストール
set "CODE=C:\Program Files\Microsoft VS Code\bin\code.cmd"
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --uninstall-extension GitHub.copilot
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --uninstall-extension GitHub.copilot-chat
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension ms-python.python
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension ms-python.vscode-pylance
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension ms-python.debugpy
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension MS-CEINTL.vscode-language-pack-ja
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension saoudrizwan.claude-dev
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension rust-lang.rust-analyzer
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension tamasfe.even-better-toml
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension anthropic.claude-code
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --install-extension almenon.arepl
"%CODE%" --extensions-dir "C:\ProgramData\vscode-extensions" --list-extensions --show-versions
echo === セットアップ完了 ===

2. Python インタプリタの選択

同一マシンに複数の Python がインストールされている場合，VS Code で使用する Python 本体（インタプリタ：Python プログラムを解釈・実行するソフトウェア）を選択する必要がある．

  1. コマンドパレット（コマンド名で機能を呼び出す VS Code の入力欄）を開く（Ctrl+Shift+P）
  2. Python: Select Interpreter と入力する
  3. 表示される一覧から，使用する Python（例：C:\Program Files\Python312\python.exe）を選択する．

Python プログラム実行手順

[Windows での Python プログラム実行手順を見るには、ここをクリック]

Windows での Python 実行手順（Visual Studio Codeを使用）

プログラムファイルの作成と保存

  1. 左サイドバーの「エクスプローラー」アイコン（Ctrl+Shift+E）をクリックする
  2. 「NO FOLDER OPENED」（作業対象フォルダが未選択の状態）と表示される場合は，「Open Folder」をクリックし，プログラムを保存するフォルダを選択する

    続いて「フォルダを信用するか」を確認する画面（フォルダ内のコードを実行してよいか確認する VS Code の仕組み）が表示されるので，チェックして Yes を選択する

  3. フォルダ名の右側に表示される「新しいファイル」アイコンをクリックする
  4. ファイル名（例：aitask.py．ファイル名は何でも良い）を入力し Enter を押す．拡張子は .py（Python ファイルを示す拡張子）とする
  5. 実行したいコードを選択し，Ctrl+C でコピーする．VS Code のエディタ領域に Ctrl+V で貼り付ける
  6. Ctrl+S で保存する

プログラムの実行

  1. エディタ右上の三角形「▷」アイコン（Run Python File：現在開いている Python ファイルを実行するボタン）をクリックする．または，エディタ上で右クリックし「ターミナルで Python ファイルを実行」を選択する
  2. VS Code 下部のターミナル（コマンドの入出力を表示する画面）に，実行結果（print 関数の出力等）が表示される
  3. tkinter（Python 標準の GUI ライブラリ）のファイル選択ダイアログを使うプログラムを実行した場合は，ダイアログが開くので対象画像を選択する
  4. VS Code 下部のターミナルで実行結果を確認する．OpenCV ウィンドウ（OpenCV が画像を表示するために開く専用ウィンドウ）が開いた場合はそちらも確認する．OpenCV ウィンドウは，マウスクリックでウィンドウをアクティブ（操作対象の状態）にしてからキーを押すと終了する

2. 必要なライブラリのインストール

管理者権限でコマンドプロンプトを起動する （手順：Windowsキーまたはスタートメニュー → cmd と入力 → 右クリック → 「管理者として実行」）。

起動したコマンドプロンプトで以下を実行する。

pip install -U --no-user numpy matplotlib seaborn

3. 概要・使い方・実行上の注意

プログラムでは以下のデータを使用する。

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]（float 型）

y = [22, 16, 10, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 24, 44, 64, 84, 104]

プログラムはこのデータ配列を3つの連続する区間に分割し，各区間で np.polyfit による1次の最小二乗近似を行う。すべての分割パターンについて残差の総和を計算し，残差が最小となる2つの端点（インデックス i, j）を総当たり探索で決定する。

残差の総和は，各区間で求めた近似直線の予測値と実測値の差を2乗して合計したものである。区間の点が2点だけのとき np.polyfit の full=True が返す残差は空配列になるため，本プログラムでは予測値から残差を直接計算する。

最適な端点が決まると，各線分の傾き・切片・区間をコンソールに表示し，散布図上にデータ点と3本の近似線分を描画する。各区間の端点には座標の注釈を付与する。

さらに，すべての (i, j) の組み合わせに対する残差をヒートマップとして可視化する。探索対象外のセル（無効な組み合わせ）は NaN として処理し，seaborn が自動的に除外する（マスクされて描画されない）。

4. 演習：データの並び x, y を3本の線分で近似する

テーマ名：3本の線分による区分線形近似と，残差ヒートマップの観察。

手順

  1. 必要なライブラリをインストールしていない場合は，管理者権限でコマンドプロンプトを起動する （手順：Windowsキーまたはスタートメニュー → cmd と入力 → 右クリック → 「管理者として実行」）。起動したコマンドプロンプトで pip install -U --no-user numpy matplotlib seaborn を実行する。
  2. 下記のコードを実行する（メモ帳を用いる場合は a.py のようなファイル名で保存して実行）。文字コードは UTF-8 とする。
  3. コンソール出力を確認する。線分1，線分2，線分3 それぞれの傾き，切片，区間が表示される。
  4. 散布図を確認する。データ点が「o」マーカーで表示され，3本の近似線分が色分けされて描画される。グラフ上の各区間の端点には座標が注釈として表示される。
  5. ヒートマップを確認する。残差の分布が表示され，最小残差の位置が確認できる。

ヒント

考察ポイント

# 3本の線分で x, y を近似

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], dtype=float)
y = np.array([22, 16, 10, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 24, 44, 64, 84, 104])


def ssr(xs, ys):
    c = np.polyfit(xs, ys, 1)
    return np.sum((ys - np.poly1d(c)(xs)) ** 2)


n = x.shape[0]
residuals = np.full((n - 2, n - 1), np.inf)

for i in range(1, n - 2):
    res1 = ssr(x[:i+1], y[:i+1])
    for j in range(i + 1, n - 1):
        residuals[i, j] = res1 + ssr(x[i:j+1], y[i:j+1]) + ssr(x[j:], y[j:])

i, j = np.unravel_index(np.argmin(residuals), residuals.shape)

# 最適な3区間の係数を求める
c1 = np.polyfit(x[:i+1], y[:i+1], 1)
c2 = np.polyfit(x[i:j+1], y[i:j+1], 1)
c3 = np.polyfit(x[j:], y[j:], 1)

# 各線分の傾きと切片，端点座標を表示
print(f"線分1: 傾き={c1[0]:.2f}, 切片={c1[1]:.2f}  区間 x=[{x[0]:.0f}, {x[i]:.0f}]")
print(f"線分2: 傾き={c2[0]:.2f}, 切片={c2[1]:.2f}  区間 x=[{x[i]:.0f}, {x[j]:.0f}]")
print(f"線分3: 傾き={c3[0]:.2f}, 切片={c3[1]:.2f}  区間 x=[{x[j]:.0f}, {x[n-1]:.0f}]")

# 散布図と近似線分の描画
plt.plot(x, y, "o", label="data")
plt.plot(x[:i+1], np.poly1d(c1)(x[:i+1]), label="seg 1")
plt.plot(x[i:j+1], np.poly1d(c2)(x[i:j+1]), label="seg 2")
plt.plot(x[j:], np.poly1d(c3)(x[j:]), label="seg 3")

# 端点の座標を注釈として表示
for idx in [0, i, j, n - 1]:
    yv = np.poly1d(c1 if idx <= i else c2 if idx <= j else c3)(x[idx])
    plt.annotate(f"({x[idx]:.0f}, {yv:.1f})", (x[idx], yv), textcoords="offset points", xytext=(0, 10), ha="center", fontsize=8)

plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

# ヒートマップ表示（無効値を NaN に置換）
heatmap_data = residuals.copy().astype(float)
heatmap_data[heatmap_data == np.inf] = np.nan
sns.heatmap(heatmap_data)
plt.xlabel("j")
plt.ylabel("i")
plt.show()

5. まとめ