データの並び x, y を3本の線分で近似

1. エグゼクティブサマリー

本記事では，データの並び x, y を3本の線分で近似するプログラムを扱う。この手法は区分線形関数（piecewise linear function）のフィッティングと呼ばれ，データ点列を3つの区間に分割し，各区間で1次関数による最小二乗近似を行い，残差の総和が最小となる分割位置を探索する。

プログラムは Python で実装されており，NumPy の多項式近似と総当たり探索により最適な2つの端点（区間の境界）を決定する。各線分の傾きと切片，端点座標をコンソールに表示し，散布図上に3本の近似線分を描画する。さらに，残差の分布をヒートマップとして可視化する。

2. 前準備（必要ソフトウェアの入手）

ここでは、最低限の事前準備について説明する。機械学習や深層学習を行う場合は、NVIDIA CUDA、Visual Studio、Cursorなどを追加でインストールすると便利である。これらについては別ページ https://www.kkaneko.jp/cc/dev/aiassist.htmlで詳しく解説しているので、必要に応じて参照してください。

winget install --scope machine --id Python.Python.3.12 -e --silent --disable-interactivity --force --accept-source-agreements --accept-package-agreements --override "/quiet InstallAllUsers=1 PrependPath=1 Include_pip=1 Include_test=0 Include_launcher=1 InstallLauncherAllUsers=1"

python --version

winget install --scope machine --id Codeium.Windsurf -e --silent --disable-interactivity --force --accept-source-agreements --accept-package-agreements --custom "/SP- /SUPPRESSMSGBOXES /NORESTART /CLOSEAPPLICATIONS /DIR=""C:\Program Files\Windsurf"" /MERGETASKS=!runcode,addtopath,associatewithfiles,!desktopicon"
powershell -Command "$env:Path=[System.Environment]::GetEnvironmentVariable('Path','Machine')+';'+[System.Environment]::GetEnvironmentVariable('Path','User'); windsurf --install-extension MS-CEINTL.vscode-language-pack-ja --force; windsurf --install-extension ms-python.python --force; windsurf --install-extension Codeium.windsurfPyright --force"

pip install -U numpy matplotlib seaborn

3. 実行のための準備とその確認手順（Windows 前提）

3.1 プログラムファイルの準備

第5章のソースコードをテキストエディタ（メモ帳，Windsurf 等）に貼り付け，main.py として保存する（文字コード：UTF-8）。

3.2 実行コマンド

コマンドプロンプトでファイルの保存先ディレクトリに移動し，以下を実行する。

python main.py

3.3 動作確認チェックリスト

4. 概要・使い方・実行上の注意

プログラムでは以下のデータを使用する。

x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]（float 型）

y = [22, 16, 10, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 24, 44, 64, 84, 104]

プログラムはこのデータ配列を3つの連続する区間に分割し，各区間で np.polyfit による1次の最小二乗近似を行う。すべての分割パターンについて残差の総和を計算し，残差が最小となる2つの端点（インデックス i, j）を総当たり探索で決定する。

最適な端点が決まると，各線分の傾き・切片・区間をコンソールに表示し，散布図上にデータ点と3本の近似線分を描画する。各区間の端点には座標の注釈が付与される。

さらに，すべての (i, j) の組み合わせに対する残差をヒートマップとして可視化する。探索対象外のセル（無効な組み合わせ）は NaN として処理され，seaborn により自動的に除外される。

ソースコードは第5章に掲載する。

5. ソースコード

3本の線分で x, y データを近似するプログラムのソースコードを以下に示す。

# 3本の線分で x, y を近似

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn as sns

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15], dtype=float)
y = np.array([22, 16, 10, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 24, 44, 64, 84, 104])

n = x.shape[0]
residuals = np.full((n - 2, n - 1), np.inf)

for i in range(1, n - 2):
    coef1, res1, *_ = np.polyfit(x[:i+1], y[:i+1], 1, full=True)
    for j in range(i + 1, n - 1):
        _, res2, *_ = np.polyfit(x[i:j+1], y[i:j+1], 1, full=True)
        _, res3, *_ = np.polyfit(x[j:], y[j:], 1, full=True)
        residuals[i, j] = sum(res1) + sum(res2) + sum(res3)

i, j = np.unravel_index(np.argmin(residuals), residuals.shape)

# 最適な3区間の係数を求める
c1 = np.polyfit(x[:i+1], y[:i+1], 1)
c2 = np.polyfit(x[i:j+1], y[i:j+1], 1)
c3 = np.polyfit(x[j:], y[j:], 1)

# 各線分の傾きと切片，端点座標を表示
print(f"線分1: 傾き={c1[0]:.2f}, 切片={c1[1]:.2f}  区間 x=[{x[0]:.0f}, {x[i]:.0f}]")
print(f"線分2: 傾き={c2[0]:.2f}, 切片={c2[1]:.2f}  区間 x=[{x[i]:.0f}, {x[j]:.0f}]")
print(f"線分3: 傾き={c3[0]:.2f}, 切片={c3[1]:.2f}  区間 x=[{x[j]:.0f}, {x[n-1]:.0f}]")

# 散布図と近似線分の描画
plt.plot(x, y, "o", label="data")
plt.plot(x[:i+1], np.poly1d(c1)(x[:i+1]), label="seg 1")
plt.plot(x[i:j+1], np.poly1d(c2)(x[i:j+1]), label="seg 2")
plt.plot(x[j:], np.poly1d(c3)(x[j:]), label="seg 3")

# 端点の座標を注釈として表示
for idx in [0, i, j, n - 1]:
    yv = np.poly1d(c1 if idx <= i else c2 if idx <= j else c3)(x[idx])
    plt.annotate(f"({x[idx]:.0f}, {yv:.1f})", (x[idx], yv), textcoords="offset points", xytext=(0, 10), ha="center", fontsize=8)

plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

# ヒートマップ表示（無効値を NaN に置換）
heatmap_data = residuals.copy().astype(float)
heatmap_data[heatmap_data == np.inf] = np.nan
sns.heatmap(heatmap_data)
plt.xlabel("j")
plt.ylabel("i")
plt.show()

6. まとめ

区分線形近似

データの並び x, y を3本の線分で近似する手法である。データ配列を3つの区間に分割し，各区間で1次関数による最小二乗近似を行う。

端点の総当たり探索

区間の境界となる2つの端点（インデックス i, j）の全組み合わせについて残差の総和を計算し，残差が最小となる分割位置を決定する。

近似係数の算出と表示

np.polyfit により各区間の近似直線の傾きと切片を求め，コンソールに表示する。

散布図による可視化

データ点と3本の近似線分を散布図上に描画し，各端点に座標の注釈を付与する。

ヒートマップによる残差分布の可視化

全 (i, j) の組み合わせに対する残差をヒートマップで表示し，最適な分割位置の近傍における残差の変化を確認できる。