R システムを用いた不偏相関係数行列

前準備

R システムのインストール

【関連する外部ページ】

R システムの CRAN の URL: https://cran.r-project.org/

• Windows での R システムのインストール: 別ページ »で説明
• Ubuntu での R システムのインストール: 別ページ »で説明

CSVファイルを読み込み，データフレームに格納

1. (前準備) 使用する CSV ファイルの作成

   Book1.csv をダウンロード （参考： 「外国為替データ（時系列データ）の情報源の紹介」の Web ページ）

   以下の説明では、

   • Windows の場合：　データファイル名： C:\R\Book1.csv
   • Linuxの場合：　データファイル名： /tmp/Book1.csv

   として説明を続ける．

   * 自前の CSV ファイルを使うときの注意： read.table() 関数を使うので， 属性名は英語になっていること．属性名は，CSV ファイルの第一行目に書いていること．

2. 使用する CSV ファイルの確認

   属性名が CSV ファイルの1行目に書かれていることを確認する．

   Book1.csv
3. R の起動
4. 「read.table」を用いて，CSV ファイルを R のデータフレームに読み込み

   次のコマンドを実行．

   ◆ Windows での動作手順例

   X <- read.table("C:/R/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);
   

   ◆ Linux での動作手順例

   X <- read.table("/tmp/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);
   

   R の read.table のオプション

   • X <- ・・・ 変数 X に読み込むという意味
   • C:/R/Book1.csv, "/tmp/Book1.csv" ・・・ 読み込む CSV ファイル名．Windows では区切りには「/」を使うことに注意．
   • header="TRUE" または header="FALSE" ・・・ 列ラベルが設定されているか
   • seq="," や seq="\" や seq=" " や ・・・ 列を区切る記号（CSV ファイルのときは「seq=","」）
   • na.string="NA" ・・・ Not a Number には "NA" を使うという意味
   • dec="." 　・・・　ファイルで使われている小数点記号（既定値は，ピリオド）
   • strip.white=TRUE ・・・ 個々のデータの先頭や末尾にある「空白文字」を取り除いて読み込む
   • skip=＜行数＞ ・・・ 読み飛ばし行数
   • nrow=＜行数＞ ・・・ 読み込み行数
   • (その他のオプション) dec: ファイルで使われている小数点記号を指定できる
5. オブジェクト X の確認

   次のコマンドを実行．

   edit(X);
   

   次のコマンドを実行．

   str(X)
   

cor() 関数を使って不偏相関係数行列を求める

1. cor() 関数を使って不偏相関係数行列を求める

   次のコマンドを実行． データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）なので、 「3:5」と書く．これは「c(3,4,5)」と同じ意味．

   不偏相関係数行列が結果として得られる． 結果が3行3列の配列になっている．

   cor( X[,3:5] )
   

   

より基本的な関数を使って相関係数を求める手順

概要

R の cor() 関数を使う方法だと、中身がブラックボックスです. 実は，以下の 2 つの R の式が，同じ結果になります． ここでは、確かに同じ結果になることを確認する手順を，図解などで説明する．

• cor() 関数を使って，相関係数を求める R の式

  cor( X[,3:5] )
  

  
• mean() 関数, t() 関数などを使って，相関係数を求める R の式

  crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )
  * この式は「t( D ) %*% t( D ) / ( nrow(D) - 1 )」と同じ意味
  
  

  但し、D は次の手順で作る． D は，行列 X の各列の平均値を X の各要素から引き，不偏標準偏差で割った後，転置した行列になっている．

  D <- t( ( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )  / c( sd( X[,3] ), sd( X[,4] ), sd( X[,5] ) ) )
  

手順

上では「crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )」， 「D <- t( ( t( X[,3:5] ) - mean( X[,3:5] ) ) / sd( X[,3:5]) ) 」のように書きました。 式が複雑なのでこれを一歩一歩確かめて、R の理解を深めます．

次のコマンドを実行．

◆ Windows での動作手順例

X <- read.table("C:/R/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);

◆ Linux での動作手順例

X <- read.table("/tmp/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);

オプション

• X <- ・・・ 変数 X に読み込むという意味
• C:/R/Book1.csv, "/tmp/Book1.csv" ・・・ 読み込む CSV ファイル名．Windows では区切りには「/」を使うことに注意．
• header="TRUE" または header="FALSE" ・・・ 列ラベルが設定されているか
• seq="," や seq="\" や seq=" " や ・・・ 列を区切る記号（CSV ファイルのときは「seq=","」）
• na.string="NA" ・・・ Not a Number には "NA" を使うという意味
• dec="." 　・・・　ファイルで使われている小数点記号（既定値は，ピリオド）
• strip.white=TRUE ・・・ 個々のデータの先頭や末尾にある「空白文字」を取り除いて読み込む
• skip=＜行数＞ ・・・ 読み飛ばし行数
• nrow=＜行数＞ ・・・ 読み込み行数
• (その他のオプション) dec: ファイルで使われている小数点記号を指定できる

1. オブジェクト X の確認

   次のコマンドを実行．

   edit(X);
   

   
2. X の各列の平均を求める

   データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）あることに注意して下さい．この 3 列について， 各列ごとに平均を求めます． 「3:5」は「c(3,4,5)」と同じ意味．平均を求めた結果はベクトルになる．

   colMeans( X[,3:5] )
   

   
3. 行列 X の各要素から，X の列の平均値を引く

   つまり、次のことを行いたいのです．

   • X の3列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第1要素（つまり数）を引く
   • X の4列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第2要素（つまり数）を引く
   • X の5列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第3要素（つまり数）を引く:

   * ここで行っていることは， 変数 X 内の3列目と4列目と5列目がなす「3次元のベクトル集合」の平均が原点になるように，平行移動させる操作とみなすことができる．

   行列からベクトルの引き算を行うとき、リサイクル規則が使われます． ここで、リサイクル規則を、例を使って、簡単に説明する． 次のような，要素 1, 2, 3, 4, 5, 6 が入った3行2列の行列があるとします．

   1 4
   2 5
   3 6
   

   この行列に対して、ベクトル c(2, 5) の引き算を行うと，リサイクル規則から、 ベクトル c(2, 5) が、次のような行列に引き伸ばされる．

   2 5
   5 2
   2 5
   

   matrix( c( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ), nrow = 3, ncol = 2 )
   matrix( c( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ), nrow = 3, ncol = 2 ) - c( 2, 5 ) 
   

   実行結果の例は次の通りです．

   

   今度は，要素 1, 4, 2, 5, 3, 6 が入った2行3列の行列があるとします．

   1 2 3
   4 5 6
   

   この行列に対して、ベクトル c(2, 5) の引き算を行うと，リサイクル規則から、 ベクトル c(2, 5) が、次のような行列に引き伸ばされる．

   2 2 2
   5 5 5
   

   matrix( c( 1, 4, 2, 5, 3, 6 ), nrow = 2, ncol = 3 )
   matrix( c( 1, 4, 2, 5, 3, 6 ), nrow = 2, ncol = 3 ) - c( 2, 5 ) 
   

   実行結果の例は次の通りです．

   

   行列の行数と，ベクトルの長さが等しいときは， 行列の各要素から，ベクトルの値を引く（行列の行番号と、ベクトルの要素番号が等しい）ことが見て取れます．

   「行列の各要素から，列の平均値を引く」こと行ってみる． 行列 X[,3:5] を転置させて，3行610列の行列を作り，列の平均値のベクトル（ベクトルの長さは3）で引き算します． リサイクル規則が使えるので、次のような簡単な式になる．（結果は3行610列の行列です）．

   * データを転置したいので関数 t() を使う． データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）あることに注意．

   D <- t( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )
   edit(D);
   

   

   上記の式に少し書き加えて、 各列ごとに平均と標準偏差を求め，その平均と標準データを使って，データ d の基準値を求めて，変数 D に格納することを行う．基準値と言っているのは，

   基準値 = ( 元の値 - 元の値の列における平均値 ) / 元の値の列における標準偏差
   

   です．これは，（仮想的な）３次元空間において，先ほどの点の集まりが原点を中心として，分散１になるように分布するように，平行移動と拡大・縮小させる操作とみなすことができる．

   D <- t( ( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )  / c( sd( X[,3] ), sd( X[,4] ), sd( X[,5] ) ) )
   edit(D); 
   

   
   

   上のように書く代わりに、次のように書いても同じ意味ですが、リサイクル規則を使わないと、書くのが面倒です * 「V[,3] - colMeans(V[,3])」は，「３列目」の全ての要素から「３列目の平均値」を引くという意味．

   hoge <- matrix(
             c( ( ( X[,3] - mean(X[,3]) ) / sd(X[,3]) ), 
                ( ( X[,4] - mean(X[,4]) ) / sd(X[,4]) ),
                ( ( X[,5] - mean(X[,5]) ) / sd(X[,5]) ) ), nrow = 2834, ncol = 3 ); 
   edit(hoge); 
   

   
   
4. 相関係数を求める

   crossprod() 関数はクロス積（この場合 t(D) %*% D）を求める関数です．D は、610行3列の行列になっていることに注意．

   crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )