Rを用いた不偏相関係数行列

このページでは，R システムを用いた不偏相関係数行列の求め方を図解で説明する．

単純な R の関数の組み合わせで不偏相関係数行列を求める手順を通して，不偏相関係数行列と R の使い方を学ぶ．

不偏相関係数行列については， Rを用いた不偏分散共分散行列のページでも説明している．

前準備

R システムのインストール

【関連する外部ページ】

R システムの CRAN の URL: https://cran.r-project.org/

Windows での R システムのインストール: 別ページ »で説明
Ubuntu での R システムのインストール: 別ページ »で説明

CSVファイルを読み込み，データフレームに格納

(前準備) 使用する CSV ファイルの作成
Book1.csv をダウンロード（参考：「外国為替データ（時系列データ）の情報源の紹介」の Web ページ）
以下の説明では，
- Windows の場合：　データファイル名： C:\R\Book1.csv
- Linuxの場合：　データファイル名： /tmp/Book1.csv
として説明を続ける．
* 自前の CSV ファイルを使うときの注意： read.table() 関数を使うので，属性名は英語にする．属性名は，CSV ファイルの第一行目に書く．
使用する CSV ファイルの確認
属性名が CSV ファイルの1行目に書かれていることを確認する．

Book1.csv
R の起動
「read.table」を用いて，CSV ファイルを R のデータフレームに読み込み
次のコマンドを実行．
◆ Windows での動作手順例
```
X <- read.table("C:/R/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);
```
◆ Linux での動作手順例
```
X <- read.table("/tmp/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);
```
R の read.table のオプション
- X <- ・・・変数 X に読み込むという意味
- C:/R/Book1.csv, "/tmp/Book1.csv" ・・・読み込む CSV ファイル名．Windows では区切りには「/」を使うことに注意．
- header="TRUE" または header="FALSE" ・・・列ラベルが設定されているか
- seq="," や seq="\" や seq=" " や・・・列を区切る記号（CSV ファイルのときは「seq=","」）
- na.string="NA" ・・・ Not a Number には "NA" を使うという意味
- dec="." 　・・・　ファイルで使われている小数点記号（既定値は，ピリオド）
- strip.white=TRUE ・・・個々のデータの先頭や末尾にある「空白文字」を取り除いて読み込む
- skip=＜行数＞・・・読み飛ばし行数
- nrow=＜行数＞・・・読み込み行数
- (その他のオプション) dec: ファイルで使われている小数点記号を指定できる
オブジェクト X の確認
次のコマンドを実行．
```
edit(X);
```
次のコマンドを実行．
```
str(X)
```

cor() 関数を使って不偏相関係数行列を求める

cor() 関数を使って不偏相関係数行列を求める
次のコマンドを実行．データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）なので，「3:5」と書く．これは「c(3,4,5)」と同じ意味．
不偏相関係数行列が結果として得られる． 結果が3行3列の配列になっている．
```
cor( X[,3:5] )
```

より基本的な関数を使って相関係数を求める手順

概要

R の cor() 関数は，内部の計算過程が見えない． 以下の 2 つの R の式は，同じ結果になる．ここでは，同じ結果になることを確認する手順を，図解で説明する．

cor() 関数を使って，相関係数を求める R の式
```
cor( X[,3:5] )
```
mean() 関数, t() 関数などを使って，相関係数を求める R の式
```
crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )
* この式は「t( D ) %*% t( D ) / ( nrow(D) - 1 )」と同じ意味
```
但し，D は次の手順で作る． D は，行列 X の各列の平均値を X の各要素から引き，不偏標準偏差で割った後，転置した行列である．
```
D <- t( ( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )  / c( sd( X[,3] ), sd( X[,4] ), sd( X[,5] ) ) )
```

手順

上では「crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )」，「D <- t( ( t( X[,3:5] ) - mean( X[,3:5] ) ) / sd( X[,3:5]) ) 」のように書いた．式が複雑なので，これを一歩ずつ確かめて，R の理解を深める．

次のコマンドを実行．

◆ Windows での動作手順例

X <- read.table("C:/R/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);

◆ Linux での動作手順例

X <- read.table("/tmp/Book1.csv", header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE);

オプション

X <- ・・・変数 X に読み込むという意味
C:/R/Book1.csv, "/tmp/Book1.csv" ・・・読み込む CSV ファイル名．Windows では区切りには「/」を使うことに注意．
header="TRUE" または header="FALSE" ・・・列ラベルが設定されているか
seq="," や seq="\" や seq=" " や・・・列を区切る記号（CSV ファイルのときは「seq=","」）
na.string="NA" ・・・ Not a Number には "NA" を使うという意味
dec="." 　・・・　ファイルで使われている小数点記号（既定値は，ピリオド）
strip.white=TRUE ・・・個々のデータの先頭や末尾にある「空白文字」を取り除いて読み込む
skip=＜行数＞・・・読み飛ばし行数
nrow=＜行数＞・・・読み込み行数
(その他のオプション) dec: ファイルで使われている小数点記号を指定できる

オブジェクト X の確認
次のコマンドを実行．
```
edit(X);
```
X の各列の平均を求める
データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）である．この 3 列について， 各列ごとに平均を求める．「3:5」は「c(3,4,5)」と同じ意味．平均を求めた結果はベクトルになる．
```
colMeans( X[,3:5] )
```
行列 X の各要素から，X の列の平均値を引く
つまり，次のことを行いたい．
- X の3列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第1要素（つまり数）を引く
- X の4列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第2要素（つまり数）を引く
- X の5列目の要素全てから，colMeans( X[,3:5] )の第3要素（つまり数）を引く:
* ここで行っているのは，変数 X 内の3列目と4列目と5列目がなす「3次元のベクトル集合」の平均が原点になるように，平行移動させる操作である．
行列からベクトルの引き算を行うとき，リサイクル規則が使われる．ここで，リサイクル規則を，例を使って説明する．次のような，要素 1, 2, 3, 4, 5, 6 が入った3行2列の行列があるとする．
```
1 4
2 5
3 6
```
この行列に対して，ベクトル c(2, 5) の引き算を行うと，リサイクル規則から，ベクトル c(2, 5) が，次のような行列に引き伸ばされる．
```
2 5
5 2
2 5
```
```
matrix( c( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ), nrow = 3, ncol = 2 )
matrix( c( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ), nrow = 3, ncol = 2 ) - c( 2, 5 )
```
実行結果の例は次の通り．

今度は，要素 1, 4, 2, 5, 3, 6 が入った2行3列の行列があるとする．
```
1 2 3
4 5 6
```
この行列に対して，ベクトル c(2, 5) の引き算を行うと，リサイクル規則から，ベクトル c(2, 5) が，次のような行列に引き伸ばされる．
```
2 2 2
5 5 5
```
```
matrix( c( 1, 4, 2, 5, 3, 6 ), nrow = 2, ncol = 3 )
matrix( c( 1, 4, 2, 5, 3, 6 ), nrow = 2, ncol = 3 ) - c( 2, 5 )
```
実行結果の例は次の通り．

行列の行数と，ベクトルの長さが等しいときは， 行列の各要素から，ベクトルの値を引く（行列の行番号と，ベクトルの要素番号が対応する）ことが分かる．
「行列の各要素から，列の平均値を引く」ことを行う． 行列 X[,3:5] を転置させて3行の行列を作り，列の平均値のベクトル（長さ3）で引き算する．リサイクル規則が使えるので，次のような簡単な式になる．
* データを転置するので関数 t() を使う．データはUSDとEURとAUDの３列（それぞれ3列目と4列目と5列目）である．
```
D <- t( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )
edit(D);
```
上記の式に書き加えて， 各列ごとに平均と標準偏差を求め，その平均と標準偏差を使ってデータの基準値を求め，変数 D に格納する．基準値とは，次の式で求まる値である．
```
基準値 = ( 元の値 - 元の値の列における平均値 ) / 元の値の列における標準偏差
```
これは，（仮想的な）３次元空間において，先ほどの点の集まりが原点を中心として，分散１になるように分布するように，平行移動と拡大・縮小させる操作とみなすことができる．
```
D <- t( ( t( X[,3:5] )  - colMeans( X[,3:5] ) )  / c( sd( X[,3] ), sd( X[,4] ), sd( X[,5] ) ) )
edit(D);
```
上のように書く代わりに，次のように書いても同じ意味であるが，リサイクル規則を使わないと書くのが面倒である． * 「V[,3] - colMeans(V[,3])」は，「３列目」の全ての要素から「３列目の平均値」を引くという意味．
```
hoge <- matrix(
          c( ( ( X[,3] - mean(X[,3]) ) / sd(X[,3]) ),
             ( ( X[,4] - mean(X[,4]) ) / sd(X[,4]) ),
             ( ( X[,5] - mean(X[,5]) ) / sd(X[,5]) ) ), nrow = nrow(X), ncol = 3 );
edit(hoge);
```
相関係数を求める
crossprod() 関数はクロス積（この場合 t(D) %*% D）を求める関数である．D は，X と同じ行数で3列の行列になっていることに注意．
```
crossprod( D ) / ( nrow(D) - 1 )
```